가우스 정수 - 편집 역사

2020년 11월 13일 (금) 14:48에 Pythagoras0님의 편집

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2014년 1월 17일 (금) 00:28에 Pythagoras0님의 편집

2014-01-17T00:28:39Z

Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$의 정수환 $\mathcal{O}_K$ 은 다음과 같다 $$ \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\} $$ 여기서 $i$는...

2014-01-17T00:18:37Z

새 문서: ==개요== * 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math>은 다음과 같다 $$ \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\} $$ 여기서 $i$는...

새 문서

==개요==
* 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math>은 다음과 같다
$$
\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\}
$$
여기서 $i$는 $x^2+1=0$의 해 $\sqrt{-1}$.
* $\mathbb{Z}[i]$의 원소를 가우스 정수라 부른다
* [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]]에 등장

==소 아이디얼 (prime ideal)==
* 단위원 $\{1,-1,i,-i\}$
* $(2)=(1+i)^2$
* $p\equiv 1\pmod 4$이면, $p=x^2+y^2$를 만족시키는 $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$가 존재하며, $(p)=(x+iy)(x-iy)$
* $p\equiv 3\pmod 4$이면, $(p)$는 소 아이디얼
* 아래 표에서 $\{x,y\}$는 $p=x^2+y^2$의 정수해
$$
\begin{array}{c|c|c|c}
p & p \bmod 4 & x^2+1 \bmod p & \{x,y\} \\
\hline
2 & 2 & (x+1)^2 & \text{x} \\
3 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
5 & 1 & (x+2) (x+3) & \{-1,-2\} \\
7 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
11 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
13 & 1 & (x+5) (x+8) & \{3,-2\} \\
17 & 1 & (x+4) (x+13) & \{1,-4\} \\
19 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
23 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
29 & 1 & (x+12) (x+17) & \{-5,-2\} \\
31 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
37 & 1 & (x+6) (x+31) & \{-1,-6\} \\
41 & 1 & (x+9) (x+32) & \{5,-4\} \\
43 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
47 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
53 & 1 & (x+23) (x+30) & \{7,-2\} \\
59 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
61 & 1 & (x+11) (x+50) & \{-5,-6\} \\
67 & 3 & x^2+1 & \text{x} \\
71 & 3 & x^2+1 & \text{x}
\end{array}
$$

===테이블===
* 소수 $p\in \mathbb{Z}$의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
* $\pi$는 소 아이디얼의 생성원, $N(\pi)$는 norm
\begin{array}{c|c}
\pi & N(\pi) \\
\hline
1+i & 2 \\
3 & 9 \\
-1-2 i & 5 \\
-1+2 i & 5 \\
7 & 49 \\
11 & 121 \\
3-2 i & 13 \\
3+2 i & 13 \\
1-4 i & 17 \\
1+4 i & 17 \\
19 & 361 \\
23 & 529 \\
-5-2 i & 29 \\
-5+2 i & 29 \\
31 & 961 \\
-1-6 i & 37 \\
-1+6 i & 37 \\
5-4 i & 41 \\
5+4 i & 41 \\
43 & 1849 \\
47 & 2209
\end{array}

==메모==
* $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$이면, $\alpha$를 primary라고 부른다
** 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치

==관련된 항목들==
* [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]]
* [[유클리드 평면의 테셀레이션]]

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTjRZMnR0b3ZQM28/edit

==수학용어번역==
* {{학술용어집|url=prime}}
** prime ideal 소 아이디얼
[[분류:정수론]]

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 ==개요==
-* 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math>은 다음과 같다
+* 수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math>은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\}
-$$
+</math>
-여기서 $i$는 $x^2+1=0$의 해 $\sqrt{-1}$.
+여기서 <math>i</math>는 <math>x^2+1=0</math>의 해 <math>\sqrt{-1}</math>.
-* $\mathbb{Z}[i]$의 원소를 가우스 정수라 부른다
+* <math>\mathbb{Z}[i]</math>의 원소를 가우스 정수라 부른다
 * [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]]에 등장
 ==소 아이디얼 (prime ideal)==
-* 단위원 $\{1,-1,i,-i\}$
+* 단위원 <math>\{1,-1,i,-i\}</math>
-* $(2)=(1+i)^2$
+* <math>(2)=(1+i)^2</math>
-* $p\equiv 1\pmod 4$이면, $p=x^2+y^2$를 만족시키는 $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$가 존재하며, $(p)=(x+iy)(x-iy)$
+* <math>p\equiv 1\pmod 4</math>이면, <math>p=x^2+y^2</math>를 만족시키는 <math>(x,y)\in \mathbb{Z}^2</math>가 존재하며, <math>(p)=(x+iy)(x-iy)</math>
-* $p\equiv 3\pmod 4$이면, $(p)$는 소 아이디얼
+* <math>p\equiv 3\pmod 4</math>이면, <math>(p)</math>는 소 아이디얼
-* 아래 표에서 $\{x,y\}$는 $p=x^2+y^2$의 정수해
+* 아래 표에서 <math>\{x,y\}</math>는 <math>p=x^2+y^2</math>의 정수해
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c|c|c}
   p & p \bmod 4 & x^2+1 \bmod p & \{x,y\} \\
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 & 3 & x^2+1 & \text{x}
 \end{array}
-$$
+</math>
 ===테이블===
-* 소수 $p\in \mathbb{Z}$의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
+* 소수 <math>p\in \mathbb{Z}</math>의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
-* $\pi$는 소 아이디얼의 primary인 생성원, $N(\pi)$는 norm
+* <math>\pi</math>는 소 아이디얼의 primary인 생성원, <math>N(\pi)</math>는 norm
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c}
   \pi  & N(\pi) \\
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   -47 & 2209
 \end{array}
-$$
+</math>
 ==메모==
-* $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$이면, $\alpha$를 primary라고 부른다
+* <math>\alpha\in \mathbb{Z}[i]</math>가 <math>\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i</math>이면, <math>\alpha</math>를 primary라고 부른다
-** 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치
+** 이는 <math>\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4</math>와 동치

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 ===테이블===
 * 소수 $p\in \mathbb{Z}$의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
-* $\pi$는 소 아이디얼의 생성원, $N(\pi)$는 norm
+* $\pi$는 소 아이디얼의 primary인 생성원, $N(\pi)$는 norm
 \begin{array}{c|c}
   \pi  & N(\pi) \\
 \hline
 +i & 2 \\
-& 9 \\
+  -3 & 9 \\
   -1-2 i & 5 \\
   -1+2 i & 5 \\
-& 49 \\
+  -7 & 49 \\
-& 121 \\
+  -11 & 121 \\
 -2 i & 13 \\
 +2 i & 13 \\
 -4 i & 17 \\
 +4 i & 17 \\
-& 361 \\
+  -19 & 361 \\
-& 529 \\
+  -23 & 529 \\
   -5-2 i & 29 \\
   -5+2 i & 29 \\
-& 961 \\
+  -31 & 961 \\
   -1-6 i & 37 \\
   -1+6 i & 37 \\
 -4 i & 41 \\
 +4 i & 41 \\
-& 1849 \\
+  -43 & 1849 \\
-& 2209
+  -47 & 2209
 \end{array}
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 ==관련된 항목들==
 * [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]]
 * [[유클리드 평면의 테셀레이션]]

가우스 정수 - 편집 역사

2020년 11월 13일 (금) 14:48에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$의 정수환 \mathcal{O}_K은 다음과 같다 $$ \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\} $$ 여기서 $i$는...

Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$의 정수환 $\mathcal{O}_K$ 은 다음과 같다 $$ \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\} $$ 여기서 $i$는...