거듭제곱의 합을 구하는 공식 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 11:58에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T11:58:13Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T13:39:50Z

메타데이터: 새 문단

2020년 12월 28일 (월) 10:03에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:03:31Z

Pythagoras0: /* 개요 */

2020-11-16T11:57:42Z

개요

2020년 11월 16일 (월) 11:56에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T11:56:29Z

Pythagoras0: /* 개요 */

2020-11-14T00:38:02Z

개요

2020년 11월 14일 (토) 00:37에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-14T00:37:13Z

210.103.24.247: /* 개요 */

2020-10-31T06:08:49Z

개요

210.103.24.247: /* 간단한 예 */

2020-10-31T06:08:08Z

간단한 예

Pythagoras0: /* 거듭제곱의 합 */

2014-07-20T01:02:41Z

거듭제곱의 합

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 == 메타데이터 ==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1398443 Q1398443]

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	[[분류:목록]]		[[분류:목록]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1398443 Q1398443]

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 \end{array}
-−
-−
 ==베르누이 수==
@@ 45번째 줄: / 45번째 줄: @@
-−
 ==베르누이 다항식==
@@ 115번째 줄: / 115번째 줄: @@
-−
 ==관련논문==

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 ==개요==
 * 1부터 n까지의 r차 거듭제곱의 합을 구하는 공식.
-* [[베르누이 수]] :<math>B_n</math>와 [[이항계수와 조합|이항계수]]를 사용하여 표현가능함
+* [[베르누이 수]] <math>B_n</math>와 [[이항계수와 조합|이항계수]]를 사용하여 표현가능함
 :<math>
 \sum_{k=1}^{n}k^r=
 \begin{cases}
-n, & \text{if <math>r=0</math>} \\
+n, & \text{if $r=0$} \\
-\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if <math>r\ge 1</math>} \\
+\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if $r\ge 1$} \\
 \end{cases}
 </math>

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 \sum_{k=1}^{n}k^r=
 \begin{cases}
-n, & \text{if $r=0$} \\
+n, & \text{if <math>r=0</math>} \\
-\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if $r\ge 1$} \\
+\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if <math>r\ge 1</math>} \\
 \end{cases}
 </math>

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 ==개요==
 * 1부터 n까지의 r차 거듭제곱의 합을 구하는 공식.
-* [[베르누이 수]] $$B_n$$와 [[이항계수와 조합|이항계수]]를 사용하여 표현가능함
+* [[베르누이 수]] :<math>B_n</math>와 [[이항계수와 조합|이항계수]]를 사용하여 표현가능함
-$$
+:<math>
 \sum_{k=1}^{n}k^r=
 \begin{cases}
-n, & \text{if $r=0$} \\
+n, & \text{if </math>r=0<math>} \\
-\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if $r\ge 1$} \\
+\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}, & \text{if </math>r\ge 1<math>} \\
 \end{cases}
-$$
+</math>
 ==간단한 예==
-* $$\Sigma_{k=1}^{n} k^r=1^r+2^r+\cdots + n^r$$ 의 테이블
+* :<math>\Sigma_{k=1}^{n} k^r=1^r+2^r+\cdots + n^r</math> 의 테이블
 \begin{array}{c|c|c}
   r & \ \text{factored} & \text{expanded} \\
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 * [[베르누이 수]]의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.:<math>\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
 *  처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|ccccccccccccccccc}
   n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
@@ 42번째 줄: / 42번째 줄: @@
   B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510}
 \end{array}
-$$
+</math>
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 :<math>\sum_{k=1}^{n}k^r=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n+1)-B_{r+1}(1)\right) \label{f1}</math>
 을 얻는다.
-$r\ge 1$ 이라 하고, \ref{diff}를 이용하여 \ref{f1}을 다시 쓰면,
+<math>r\ge 1</math> 이라 하고, \ref{diff}를 이용하여 \ref{f1}을 다시 쓰면,
-$$
+:<math>
 \begin{align}
 \quad \sum_{k=1}^{n}k^r&=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(1)\right)+n^r \\
@@ 93번째 줄: / 93번째 줄: @@
 &=\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}
 \end{align}
-$$
+</math>
 ==관련된 항목들==
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 ==관련논문==
-* [http://www.jstor.org/stable/2686229 Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2686229 Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers]
 ** Lee Zia
 ** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300
-* [http://www.jstor.org/stable/2320064 Euler's formula nth Differences of Powers]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2320064 Euler's formula nth Differences of Powers]
 ** H. W. Gould
 ** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 450-467
-* [http://www.jstor.org/stable/2691053 Bernoulli's Identity without Calculus]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2691053 Bernoulli's Identity without Calculus]
 ** Kenneth S. Williams
 ** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 47-50
-* [http://www.jstor.org/stable/2321518 The Umbral Method: A Survey of Elementary Mnemonic and Manipulative Uses]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2321518 The Umbral Method: A Survey of Elementary Mnemonic and Manipulative Uses]
 ** Andrew P. Guinand
 ** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 187-195
-* [http://www.jstor.org/stable/2695389 A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2695389 A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers]
 ** Hans J. H. Tuenter
 ** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 108, No. 3 (Mar., 2001), pp. 258-261

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 $$
 \begin{align}
-& {} \quad \sum_{k=1}^{n}k^r=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(1)\right)+n^r = \frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0)\right)+n^r\\
+\quad \sum_{k=1}^{n}k^r&=\frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(1)\right)+n^r \\
-&  =
+&= \frac{1}{r+1}\left(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0)\right)+n^r\\
-\left(\sum_{j=0}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}\right)+ n^r \\
+&=\left(\sum_{j=0}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}\right)+ n^r \\
-& =
+&=\frac{1}{r+1}n^{r+1}+\frac{1}{2}n^{r}+\sum_{j=2}^{r}\frac{\binom{r+1}{j} B_j}{r+1}n^{r+1-j}
 \end{align}
 $$