거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙 - 편집 역사

2020년 11월 16일 (월) 12:19에 Pythagoras0님의 편집

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2014-01-16T07:24:43Z

Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 대수적 수론의 주요 정리 * 이차잉여의 상호법칙, 3차 상호법칙을 포괄하는 상호법칙 ==거듭제곱 잉여 부호== * [[힐베르트...

2014-01-16T07:20:12Z

새 문서: ==개요== * 대수적 수론의 주요 정리 * 이차잉여의 상호법칙, 3차 상호법칙을 포괄하는 상호법칙 ==거듭제곱 잉여 부호== * [[힐베르트...

새 문서

==개요==
* 대수적 수론의 주요 정리
* [[이차잉여의 상호법칙]], [[3차 상호법칙]]을 포괄하는 상호법칙

==거듭제곱 잉여 부호==
* [[힐베르트 부호]]의 특별한 경우로 이해할 수 있다
===기호===
* $n\geq 2$ : 자연수
* $K$ : $n$의 단위근 $\zeta_n$이 속해 있는 수체
* <math>\mathcal{O}_K</math> : $K$의 정수환, <math>\zeta_n\in\mathcal{O}_K</math>
* <math>\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K </math> : $n \not \in \mathfrak{p}$을 만족하는 prime 아이디얼
* $\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|$
** $\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}$은 [[유한체 (finite field)]]이므로, 소수 $p$와 적당한 $f\in \mathbb{Z}$에 대하여, $\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f$
** $\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}$으로 생성되는 부분군의 크기는 $\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1$을 나눈다
** 따라서 <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}</math>을 만족한다
* (페르마의 소정리) <math>\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},</math>에 대하여 다음이 성립한다
$$
\alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }.
$$
* 다음을 만족하는 유일한 $s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$가 존재한다
$$
\alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}}
$$
===정의===
* 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상을 다음과 같이 정의
$$
\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s
$$
여기서 $\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}$
* $n$과 서로 소인 아이디얼 $\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}$에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의
$$
\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{a}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}}
$$

==상호법칙==
;정리
$\alpha,\beta\in K^{\times}$가 서로 소이고, $n$과도 서로 소라 하자. 다음이 성립한다
:<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)</math>
여기서 $\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)$는 [[힐베르트 부호]]

[[분류:정수론]]

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 ;정리
 $\alpha,\beta\in K^{\times}$가 서로 소이고, $n$과도 서로 소라 하자. 다음이 성립한다
-:<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n  \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right))_n</math>
+:<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n  \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n</math>
-여기서 $\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n$는 [[힐베르트 부호]], $\infty$는 $K$의 real infinte prime들의 곱 ($n=2$인 경우에만 등장)
+여기서 $\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n$는 [[힐베르트 부호]], $\infty$는 $K$의 real infinite prime들의 곱 ($n=2$인 경우에만 등장)

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 * [[힐베르트 부호]]의 특별한 경우로 이해할 수 있다
 ===기호===
-* $n\geq 2$ : 자연수
+* <math>n\geq 2</math> : 자연수
-* $K$ : $n$의 단위근 $\zeta_n$이 속해 있는 수체
+* <math>K</math> : <math>n</math>의 단위근 <math>\zeta_n</math>이 속해 있는 수체
-* <math>\mathcal{O}_K</math> : $K$의 정수환, <math>\zeta_n\in\mathcal{O}_K</math>
+* <math>\mathcal{O}_K</math> : <math>K</math>의 정수환, <math>\zeta_n\in\mathcal{O}_K</math>
-* <math>\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K </math> : $n \not \in \mathfrak{p}$을 만족하는 prime 아이디얼
+* <math>\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K </math> : <math>n \not \in \mathfrak{p}</math>을 만족하는 prime 아이디얼
-* $\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|$
+* <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|</math>
-** $\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}$은 [[유한체 (finite field)]]이므로, 소수 $p$와 적당한 $f\in \mathbb{Z}$에 대하여, $\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f$
+** <math>\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}</math>은 [[유한체 (finite field)]]이므로, 소수 <math>p</math>와 적당한 <math>f\in \mathbb{Z}</math>에 대하여, <math>\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f</math>
-** $\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}$으로 생성되는 부분군의 크기는 $\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1$을 나눈다
+** <math>\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}</math>으로 생성되는 부분군의 크기는 <math>\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1</math>을 나눈다
 ** 따라서 <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}</math>을 만족한다
 * (페르마의 소정리) <math>\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},</math>에 대하여 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }.
-$$
+</math>
-* 다음을 만족하는 유일한 $s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$가 존재한다
+* 다음을 만족하는 유일한 <math>s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})</math>가 존재한다
-$$
+:<math>
 \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}}
-$$
+</math>
 ===정의===
-* 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상 $\left(\frac{\cdot}{\mathfrak{p} }\right)_n : K_{\mathfrak{p}} \to \langle \zeta_n \rangle$을 다음과 같이 정의
+* 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상 <math>\left(\frac{\cdot}{\mathfrak{p} }\right)_n : K_{\mathfrak{p}} \to \langle \zeta_n \rangle</math>을 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s
-$$
+</math>
-여기서 $\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}$
+여기서 <math>\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}</math>
-* $n$과 서로 소인 아이디얼 $\mathfrak{b}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}$에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의
+* <math>n</math>과 서로 소인 아이디얼 <math>\mathfrak{b}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}</math>에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{b}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}}
-$$
+</math>
 ==상호법칙==
 ;정리
-$\alpha,\beta\in K^{\times}$가 서로 소이고, $n$과도 서로 소라 하자. 다음이 성립한다
+<math>\alpha,\beta\in K^{\times}</math>가 서로 소이고, <math>n</math>과도 서로 소라 하자. 다음이 성립한다
 :<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n  \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n</math>
-여기서 $\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n$는 [[힐베르트 부호]], $\infty$는 $K$의 real infinite prime들의 곱 ($n=2$인 경우에만 등장)
+여기서 <math>\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n</math>는 [[힐베르트 부호]], <math>\infty</math>는 <math>K</math>의 real infinite prime들의 곱 (<math>n=2</math>인 경우에만 등장)

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 $$
 ===정의===
-* 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상을 다음과 같이 정의
+* 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상 $\left(\frac{\cdot}{\mathfrak{p} }\right)_n : K_{\mathfrak{p}} \to \langle \zeta_n \rangle$을 다음과 같이 정의
 $$
 \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s
 $$
 여기서 $\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}$
-* $n$과 서로 소인 아이디얼 $\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}$에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의
+* $n$과 서로 소인 아이디얼 $\mathfrak{b}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}$에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의
 $$
-\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{a}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}}
+\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{b}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}}
 $$
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 여기서 $\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)$는 [[힐베르트 부호]]
 [[분류:정수론]]