고교생도 이해할 수 있는 군론 입문 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 11:58에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T11:58:46Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:39:42Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 13일 (금) 18:08에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-13T18:08:24Z

2014년 8월 17일 (일) 23:06에 Pythagoras0님의 편집

2014-08-17T23:06:37Z

Pythagoras0: /* 대칭의 언어 */

2014-08-17T23:04:51Z

대칭의 언어

Pythagoras0: /* 결합법칙 */

2014-08-17T22:59:14Z

결합법칙

Pythagoras0: /* 군이란 무엇인가 */

2014-08-17T22:57:04Z

군이란 무엇인가

Pythagoras0: /* 관찰2 */

2014-08-17T22:56:12Z

관찰2

2014년 5월 27일 (화) 05:08에 Pythagoras0님의 편집

2014-05-27T05:08:40Z

2013년 6월 15일 (토) 15:44에 Pythagoras0님의 편집

2013-06-15T15:44:26Z

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 [[분류:군론]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q83478 Q83478]

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	[[분류:입문]]		[[분류:입문]]
	[[분류:군론]]		[[분류:군론]]
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		+	== 메타데이터 ==
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		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q83478 Q83478]

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 :<math> g :  (ex+fy, gx+hy) \mapsto  ( (ae+ bg)x+(af+bh)y, (ce+dg)x+(cf+dh)y )</math>
-이 결과를 가만히 잘 들여다 보면, 함수 f의 역할을 행렬 B가 할 수 있고, 함수 g의 역할을 행렬 A가 한다고 하면, 함수의 합성 $g \circ f$ 의 역할은 행렬 AB 가 할 수 있다는 것을 알 수 있다.
+이 결과를 가만히 잘 들여다 보면, 함수 f의 역할을 행렬 B가 할 수 있고, 함수 g의 역할을 행렬 A가 한다고 하면, 함수의 합성 <math>g \circ f</math> 의 역할은 행렬 AB 가 할 수 있다는 것을 알 수 있다.
 '''행렬의 곱셈을 저리 괴상하게 정의한 이유는, 바로 행렬들을 함수로 보고 싶었기 때문이다!''' 이것이 바로 선형대수학 제일의 철학, ‘선형사상은 행렬과 같다’ 는 말이다. (사상 = 함수)
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 위키에 따르면 swastika는 산스크리트어 기원으로 행운을 뜻하는 상징이라 한다. 나치만 없었어도, 상대하는데 아무런 거리낌이 없을 문양이었다. 어쨌든 헤르만 바일이 언급한 ‘질서, 미, 완벽함’같은 것들은, 아마도 대칭성이 가져오는 신비로움, 영적인 힘 같은 것들과도 연관이 있을 것이다.
-저 문양들은 모두 다르게 생겼지만, {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}라는 동일한 변화들의 모임에 의해 불변성을 갖는다. 또한 네 개의 복소수로 이루어진 군 <math>\{1,i,-1,-i\}</math>은 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아} 와 동일한 수학적인 구조를 갖고 있다. 수학자들은 이렇게 이름만 다르지만 본질적으로 같은 군들을 추상화하여 모두 [[순환군]] $C_4$ (cyclic group of order 4) 라고 부른다. 이러한 방식으로 '''‘군’의 개념은 이러한 사실상 달라 보이지만 똑같은 ‘대칭’을 분류하는데 있어, 강력한 언어를 제공'''해 주게 되는 것이다!
+저 문양들은 모두 다르게 생겼지만, {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}라는 동일한 변화들의 모임에 의해 불변성을 갖는다. 또한 네 개의 복소수로 이루어진 군 <math>\{1,i,-1,-i\}</math>은 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아} 와 동일한 수학적인 구조를 갖고 있다. 수학자들은 이렇게 이름만 다르지만 본질적으로 같은 군들을 추상화하여 모두 [[순환군]] <math>C_4</math> (cyclic group of order 4) 라고 부른다. 이러한 방식으로 '''‘군’의 개념은 이러한 사실상 달라 보이지만 똑같은 ‘대칭’을 분류하는데 있어, 강력한 언어를 제공'''해 주게 되는 것이다!
 ==재미있는 사실==

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 ==개요==
 요즘 어떻게 군론을 소개하면 좋을까 고민을 좀 하고 있었는데, 우연히 마틴 가드너의 책 ‘[http://www.amazon.com/Last-Recreations-Hydras-Mathematical-Mystifications/dp/product-description/0387258272 The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications]‘ 을 넘겨 보다가 좋은 걸 배웠다.
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 ==관련된 항목들==
-* [[군론(group theory)|군론]]
+* [[군론(group theory)]]
 * [[가우스와 정17각형의 작도]]
 * [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]]

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 위키에 따르면 swastika는 산스크리트어 기원으로 행운을 뜻하는 상징이라 한다. 나치만 없었어도, 상대하는데 아무런 거리낌이 없을 문양이었다. 어쨌든 헤르만 바일이 언급한 ‘질서, 미, 완벽함’같은 것들은, 아마도 대칭성이 가져오는 신비로움, 영적인 힘 같은 것들과도 연관이 있을 것이다.
-저 문양들은 모두 다르게 생겼지만, {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}라는 동일한 변화들의 모임에 의해 불변성을 갖는다. 또한 네 개의 복소수로 이루어진 군 <math>\{1,i,-1,-i\}</math>은 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아} 와 동일한 수학적인 구조를 갖고 있다. 수학자들은 이렇게 이름만 다르지만 본질적으로 같은 군들을 추상화하여 모두 C4(cyclic group of order 4) 라고 부른다. 이러한 방식으로 '''‘군’의 개념은 이러한 사실상 달라 보이지만 똑같은 ‘대칭’을 분류하는데 있어, 강력한 언어를 제공'''해 주게 되는 것이다!
+저 문양들은 모두 다르게 생겼지만, {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}라는 동일한 변화들의 모임에 의해 불변성을 갖는다. 또한 네 개의 복소수로 이루어진 군 <math>\{1,i,-1,-i\}</math>은 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아} 와 동일한 수학적인 구조를 갖고 있다. 수학자들은 이렇게 이름만 다르지만 본질적으로 같은 군들을 추상화하여 모두 [[순환군]] $C_4$ (cyclic group of order 4) 라고 부른다. 이러한 방식으로 '''‘군’의 개념은 이러한 사실상 달라 보이지만 똑같은 ‘대칭’을 분류하는데 있어, 강력한 언어를 제공'''해 주게 되는 것이다!
 ==재미있는 사실==

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 '''지금 여기 네 가지의 명령들로 구성된 집합이 있고 그에 따라 뺑뺑이를 도는 훈련병이 있다.''' 수학적으로 말하자면, group of transformations 이 있고, 그 각각의 transformation (즉 하나하나의 명령들) 에 따라서 변화하고 있는 대상(훈련병)이 있다. '''개개의 transformation 사이의 연산이, 그저 대상에 주어진 명령들을 순서대로 행하는 것과 같다면, 이러한 연산은 당연히 결합법칙을 만족시킨다.'''
 지금까지의 당연하게만 들리는 이야기 속에 담긴 힘을 보여주기 위해, [[행렬의 곱셈]]에 대해서 언급하고자 한다. 고등학교 수학과정에서 행렬이 등장하고, 행렬의 곱셈도 정의한다. 그리고 행렬의 곱셈은 결합법칙을 만족시킨다는 것도 교과서도 나온다. 그러나 왜 행렬의 곱셈이 결합법칙을 만족시키는지는 제대로 설명해 주지 않는다. 행렬의 곱셈은 정의부터 이상하지 않았는가?
 :<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}<br />a & b \\<br />c & d \\ \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix}<br />e & f \\<br />g & h \\ \end{pmatrix}</math>
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 다음 이야기는 ‘군론입문’시리즈의 마지막 편으로, 군론은 왜 ‘'''대칭'''‘을 이해하는 언어가 되는지를 말한다.
 ==대칭의 언어==

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 의 조건을 만족시킬때, 우리는 그 집합을 ‘군’이라 한다.
-그러면 이제 다음 시간까지, 위의 관찰3에서왜 결합법칙이 성립하는지를 곰곰이 생각해 보시길…
+그러면 이제 다음 시간까지, 위의 관찰3에서 왜 결합법칙이 성립하는지를 곰곰이 생각해 보시길…
 ==결합법칙==

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 ====관찰2====
-모든 명령은, 다른 명령을 통해 그 명령을 내리기 전 상태로 되돌릴 수 있다. 예를 들자면, 좌향좌라고 방금 말했다면 우향우를 통해 상태를 되돌릴 수 있다. 방금 우향우라고 했다면, 좌향좌로 상태를 되돌릴 수 있다.''' 관찰3.'''
+모든 명령은, 다른 명령을 통해 그 명령을 내리기 전 상태로 되돌릴 수 있다. 예를 들자면, 좌향좌라고 방금 말했다면 우향우를 통해 상태를 되돌릴 수 있다. 방금 우향우라고 했다면, 좌향좌로 상태를 되돌릴 수 있다.
 '''명령들의 연산에는 결합법칙이 성립한다.''' 다시 말하자면, (a.b).c = a.(b.c) 가 성립한다. 예를 들어, a= 좌향좌, b= 뒤로돌아, c=우향우 라고 해보자.

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 요즘 어떻게 군론을 소개하면 좋을까 고민을 좀 하고 있었는데, 우연히 마틴 가드너의 책 ‘[http://www.amazon.com/Last-Recreations-Hydras-Mathematical-Mystifications/dp/product-description/0387258272 The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications]‘ 을 넘겨 보다가 좋은 걸 배웠다.
-군, 群, [http://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29 group] 이란 무엇인가? 오늘은 몇개의 군대 용어를 사용하여, 군론을 소개하려 한다. 다만 주의할 것은, 수학용어 군은 무리 군 群으로 군대와는 관계가 없으니 혼동이 없기를…
+군, 群, [http://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29 group] 이란 무엇인가? 오늘은 몇 개의 군대 용어를 사용하여, 군론을 소개하려 한다. 다만 주의할 것은, 수학용어 군은 무리 군 群으로 군대와는 관계가 없으니 혼동이 없기를…
 지금 교관과 훈련병이 제식훈련 중이다. 훈련병은 차렷자세로 교관을 바라보고 있다. 교관은 곧 훈련병에게 네 가지의 명령을 막 섞어서 뺑뺑이를 돌리기 시작한다. 그 네 가지의 명령이란 다음과 같다.

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