골레이 코드 (Golay code) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 11:59에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T11:59:02Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T13:39:35Z

메타데이터: 새 문단

2020년 12월 28일 (월) 10:05에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:05:08Z

Pythagoras0: /* 매스매티카 파일 및 계산 리소스 */

2020-12-22T01:38:31Z

매스매티카 파일 및 계산 리소스

2020년 11월 16일 (월) 11:56에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T11:56:47Z

Pythagoras0: /* 관련된 항목들 */

2014-05-28T16:42:41Z

Pythagoras0: /* 길이 8인 코드 */

2014-05-28T16:36:07Z

길이 8인 코드

2014년 5월 28일 (수) 15:56에 Pythagoras0님의 편집

2014-05-28T15:56:07Z

2014년 5월 28일 (수) 15:49에 Pythagoras0님의 편집

2014-05-28T15:49:07Z

2014년 5월 28일 (수) 15:37에 Pythagoras0님의 편집

2014-05-28T15:37:25Z

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   <references />
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1534522 Q1534522]

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	===소스===		===소스===
	<references />		<references />
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1534522 Q1534522]

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 [[파일:슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)1.png]]
-−
-−
 ==역사==
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 * [[수학사 연표]]
-−
@@ 36번째 줄: / 36번째 줄: @@
 * [[해밍코드(Hamming codes)]]
 * [[슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)]]
-−
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==

← 이전 판		2020년 12월 22일 (화) 01:38 판
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	* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxY21Hc2Q3X25rbzQ/edit		* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxY21Hc2Q3X25rbzQ/edit
	* http://mathworld.wolfram.com/GolayCode.html		* http://mathworld.wolfram.com/GolayCode.html
		+
		+
		+	== 노트 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1534522 Q1534522]
		+	===말뭉치===
		+	# Recently, some table-lookup decoding algorithms (TLDAs) have been used to correct the binary Golay code.<ref name="ref_340e953f">[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1665642313715438 High-Speed Decoding of the Binary Golay Code]</ref>
		+	# The problem of complete decoding the binary Golay code over error-and-erasure memoryless channels is addressed.<ref name="ref_248f9b19">[https://link.springer.com/article/10.1007/BF02997777 A decoding algorithm for the (23, 12, 7) golay code with error and erasure correction]</ref>
		+	# In mathematics and electronics engineering, a binary Golay code is a type of linear error-correcting code used in digital communications.<ref name="ref_a8e218ba">[https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_Golay_code Binary Golay code]</ref>
		+	# conversely, the extended binary Golay code is obtained from the perfect binary Golay code by adding a parity bit).<ref name="ref_a8e218ba" />
		+	# Witt in 1938 published a construction of the largest Mathieu group that can be used to construct the extended binary Golay code.<ref name="ref_a8e218ba" />
		+	# Turyn's construction of 1967, "A Simple Construction of the Binary Golay Code," that starts from the Hamming code of length 8 and does not use the quadratic residues mod 23.<ref name="ref_a8e218ba" />
		+	# It has been shown in the worksheet how to implement encoding and decoding of triple error correcting (24, 12) binary Golay code.<ref name="ref_d06c6eba">[https://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=1757&view=html Extended (24, 12) Binary Golay Code: Encoding and Decoding Procedures]</ref>
		+	# The automorphism group of the binary Golay code is the Mathieu group M 24 M_{24} , and the other Mathieu group are obtained as stabilisers of various sets in the Golay code.<ref name="ref_70ee6593">[https://ncatlab.org/nlab/show/binary+Golay+code binary Golay code in nLab]</ref>
		+	# If we delete any one component of the vectors in the extended Golay code, we obtain the perfect binary Golay code, a 12-dimensional subspace \(W’ \subset \mathbb{F}_2^{23}\).<ref name="ref_d5754dda">[https://blogs.ams.org/visualinsight/2015/12/01/golay-code/ Golay Code]</ref>
		+	# The maximum size of unrestricted binary three-error-correcting codes has been known up to the length of the binary Golay code, with two exceptions.<ref name="ref_f2f5796f">[https://link.springer.com/article/10.1007/s10623-018-0532-z The sextuply shortened binary Golay code is optimal]</ref>
		+	# In the current computer-aided study, it is shown that \(A(18,8)=64\) and \(A(19,8)=128\), so an optimal code is obtained even after shortening the extended binary Golay code six times.<ref name="ref_f2f5796f" />
		+	# We provide a counterexample to show that the extended binary Golay code is not 1-perfect for the proposed poset block structures.<ref name="ref_b70cf7bd">[https://www.aimsciences.org/article/doi/10.3934/amc.2018037 Characterization of extended Hamming and Golay codes as perfect codes in poset block spaces]</ref>
		+	# Two Golay codes exist—the 23-bit binary Golay code and the 11-trit ternary Golay code.<ref name="ref_8077d169">[https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2020.0187 Magic state distillation with the ternary Golay code]</ref>
		+	===소스===
		+	<references />

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 ==개요==
-* [24,12,8] 골레이 코드 $C$
+* [24,12,8] 골레이 코드 <math>C</math>
-* 유한체 $\mathbb{F}_2$위에 정의되는 선형코드 $C\subset \mathbb{F}_2^{24}$
+* 유한체 <math>\mathbb{F}_2</math>위에 정의되는 선형코드 <math>C\subset \mathbb{F}_2^{24}</math>
-* 12차원 벡터 공간을 이루며, $C$의 원소의 개수는 $2^{12}=4096$
+* 12차원 벡터 공간을 이루며, <math>C</math>의 원소의 개수는 <math>2^{12}=4096</math>
 * 가장 작은 길이를 갖는 코드는 길이 8
 * self-dual
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 * <math>W_{C}(x.y)=x^{24}+759 x^{16} y^8+2576 x^{12} y^{12}+759 x^8 y^{16}+y^{24}</math>
 * [[맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)]]에 의해 다음이 성립
-$$
+:<math>
 W_{C}(x,y)=W_{C}\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}},\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)
-$$
+</math>
 ===길이 8인 코드===

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	* [[슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)]]으로 불린다		* [[슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)]]으로 불린다

−	[[파일:~~12178234-~~S(5,8,24).~~gif~~]]	+	[[파일:슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)1.png]]

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-==Golay code==
+==codeword==
 ===weight enumerator===
 * <math>W_{C}(x.y)=x^{24}+759 x^{16} y^8+2576 x^{12} y^{12}+759 x^8 y^{16}+y^{24}</math>

@@ 10번째 줄: / 10번째 줄: @@
 ===weight enumerator===
-* <math>W_{C}(x)=x^{24}+759 x^{16} y^8+2576 x^{12} y^{12}+759 x^8 y^{16}+y^{24}</math>
+* <math>W_{C}(x.y)=x^{24}+759 x^{16} y^8+2576 x^{12} y^{12}+759 x^8 y^{16}+y^{24}</math>
 * [[맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)]]에 의해 다음이 성립
 $$
-W_{C}(x)=\frac{(1+x)^{24}}{4096}W_C(\frac{1-x}{1+x})
+W_{C}(x,y)=\frac{1}{4096}W_{C}(y-x,y+x)
 $$