등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:03에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T12:03:15Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:34:42Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 12일 (목) 07:27에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T07:27:25Z

2015년 1월 26일 (월) 02:08에 Pythagoras0님의 편집

2015-01-26T02:08:32Z

Pythagoras0: /* 리뷰, 에세이, 강의노트 */

2014-11-25T06:09:43Z

리뷰, 에세이, 강의노트

2014년 4월 21일 (월) 02:54에 Pythagoras0님의 편집

2014-04-21T02:54:20Z

2013년 3월 29일 (금) 20:30에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-29T20:30:22Z

2013년 3월 16일 (토) 00:43에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-16T00:43:35Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T22:25:21Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

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찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

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 [[분류:소수]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7687 Q7687]

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	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
	[[분류:소수]]		[[분류:소수]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q7687 Q7687]

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 우변의 첫번째 항은 다음에 의해 발산함을 안다.
-$$
+:<math>
 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty
-$$
+</math>
 우변의 두번째 항은 다음에 의해 수렴함을 안다.
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 이는 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]이다.
-따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있다. 마찬가지로 $f$를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있다.
+따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있다. 마찬가지로 <math>f</math>를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있다.

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 * [[10k＋1 꼴의 소수는 무한히 많다]] 와 같은 정리의 일반화
-(정리) 디리클레, 1837
+;정리 (디리클레, 1837)
 자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,⋯) 는 무한히 많은 소수를 포함한다
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+==증명==
+* [[푸리에 해석]]과 [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]]의 아이디어를 결합시킴.
-<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math> 임은 이미 [[소수와 리만제타함수]] 를 통해 알고 있음.
+===증명의 아이디어===
-이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해줌.
+예를 들어, 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> 는 두 가지 경우가 가능하다
+* <math>\chi_0(3)=1</math> 인 경우
-이러한 해석학적 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합.
+* <math>\chi_1(3)=-1</math> 인 경우
 자연수 집합을 정의역으로 갖는 함수 <math>f</math>를 다음과 같이 정의하자
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 :<math>\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4}  \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p})</math>
-우변의 첫번째 항은 <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math> 에 의해 발산함을 안다.
+우변의 첫번째 항은 다음에 의해 발산함을 안다.
-우변의 두번째 항은 <math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>에 의해 수렴함을 안다. 이는 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]],
+우변의 두번째 항은 다음에 의해 수렴함을 안다.
-따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있음
+따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있다. 마찬가지로 $f$를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있다.
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 * <math>G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음.
-* [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]] 참조
+* [[순환군과 유한아벨군의 표현론]] 참조
 * [[유한군의 표현론]]
 ==디리클레 L-함수==
 * 자세한 사항은 [[디리클레 L-함수]]  항목을 참고
-*  정의<br> primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.:<math>L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br>
+;정의
 ==s=1일 때, 디리클레 L-함수의 값==
 * [[디리클레 L-함수]] 항목에서 가져옴
+* 일반적으로 <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>에 대하여 <math>L(1,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어짐:<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})</math>
-*  일반적으로 <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 <math>L(1,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어짐:<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})</math><br>
+* 여기서 <math>\tau(\chi)</math>에 대해서는 [[가우스 합]] 항목 참조:<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}</math>:<math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math>
-*  여기서 <math>\tau(\chi)</math>에 대해서는 [[가우스 합|가우스합]] 항목 참조:<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}</math>:<math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math><br>
+* 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음
-*  좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음<br>
+** <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a</math>
-** <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a</math><br>
+** <math>\chi(-1)=1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})</math>
-** <math>\chi(-1)=1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})</math><br>
+* <math>\chi\neq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\neq 0 </math>를  증명
+* 이차수체 <math>K</math>의 경우, <math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음
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 ==관련도서==
-* [http://www.amazon.com/Introduction-Analytic-Number-Undergraduate-Mathematics/dp/0387901639 Introduction to Analytic Number Theory] (Undergraduate Texts in Mathematics)<br>
+* [http://www.amazon.com/Introduction-Analytic-Number-Undergraduate-Mathematics/dp/0387901639 Introduction to Analytic Number Theory] (Undergraduate Texts in Mathematics)
 ** Tom M. Apostol
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 ==사전형태의 자료==
-* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%94%94%EB%A6%AC%ED%81%B4%EB%A0%88 http://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레]
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레
-* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions]
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions
 [[분류:정수론]]
 [[분류:소수]]

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 * Avigad, Jeremy, and Rebecca Morris. 2014. “Character and Object.” arXiv:1404.4832 [math], April. http://arxiv.org/abs/1404.4832.
-−
 ==관련도서==

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	* [[푸리에 변환]]		* [[푸리에 변환]]

		+
		+	==리뷰, 에세이, 강의노트==
		+	* Avigad, Jeremy, and Rebecca Morris. 2014. “Character and Object.” arXiv:1404.4832 [math], April. http://arxiv.org/abs/1404.4832.

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 이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해줌.
-이 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합.
+이러한 해석학적 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합.
 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 는 두 가지 경우가 가능.
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 <math>\chi_1(3)=-1</math> 인 경우
+자연수 집합을 정의역으로 갖는 함수 <math>f</math>를 다음과 같이 정의하자
+:<math>f(n)  =
-자연수 위에 정의된 함수 <math>f</math> 가 있어, 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
+\begin{cases}
+\mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \\
-<math>f(n)  = 1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} </math>
+\mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}
+\end{cases}</math>
-<math>f(n)  = 0 \mbox{ if }  n\equiv 0,1,2 \pmod{4}</math>
+이는 <math>f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}</math>  로 쓸 수 있다.
+따라서,
-<math>f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}</math>  로 쓸 수 있다.
+:<math>\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4}  \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p})</math>
 우변의 첫번째 항은 <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math> 에 의해 발산함을 안다.
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 * <math>\chi\neq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\neq 0 </math>를  증명<br>
-*  이차수체 <math>K</math>의 경우:<math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음<br>
+* 이차수체 <math>K</math>의 경우, <math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음<br>

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149번째 줄:		149번째 줄:
	* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions]		* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions]
	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
		+	[[분류:소수]]

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 ==역사==
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
 * 1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/1859 1859] - 리만이 [[리만가설]]을 발표