란덴변환(Landen's transformation) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:04에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T12:04:41Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

2020년 12월 28일 (월) 10:17에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:17:05Z

2020년 11월 14일 (토) 01:04에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-14T01:04:17Z

2014년 1월 28일 (화) 13:22에 Pythagoras0님의 편집

2014-01-28T13:22:59Z

2014년 1월 26일 (일) 07:29에 Pythagoras0님의 편집

2014-01-26T07:29:12Z

2014년 1월 26일 (일) 06:46에 Pythagoras0님의 편집

2014-01-26T06:46:18Z

2013년 4월 25일 (목) 16:56에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-25T16:56:59Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “표준적인 도서 및 추천도서” 문자열을 “관련도서” 문자열로

2013-01-13T01:18:53Z

찾아 바꾸기 – “표준적인 도서 및 추천도서” 문자열을 “관련도서” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

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찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

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 [[분류:타원적분]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q11347570 Q11347570]

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	** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir		** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
	[[분류:타원적분]]		[[분류:타원적분]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q11347570 Q11347570]

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-−
 ===버전2===
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 </math>
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 ===버전3===
 *  hypergeometric 급수와 타원 적분
-:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math>
+:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math>
 *  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
 :<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math>
-* [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조
+* [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조
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 ==메모==
 * http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
-−
 ==관련된 항목들==
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 * Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]
-−
 ==사전 형태의 참고자료==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Landen's_transformation
-−
 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
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 * Manna, Dante, and Victor H. Moll. 2007. “A Simple Example of a New Class of Landen Transformation.” arXiv:0707.3911 [math]. http://arxiv.org/abs/0707.3911. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
 * Dante V. Manna and Victor H. Moll [http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf Landen survey]
-** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
+** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
 [[분류:타원적분]]

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 ===버전1===
-* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br>
+* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math>
 * 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
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 ===버전2===
-* $a> b > 0$에 대하여, 다음의 타원적분을 정의하자
+* <math>a> b > 0</math>에 대하여, 다음의 타원적분을 정의하자
 :<math>I(a,b) : = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta= \frac{1}{a} K(\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}) \label{ik}</math>
 * 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.
 :<math>(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})</math>
 즉, 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 I(a,b)=I(\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab}) \label{hom}
-$$
+</math>
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 :<math>I(1,\sqrt{1-k^2})=K(k)</math>
 따라서
-$$
+:<math>
 K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}
-$$
+</math>
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	+	==메모==
	+	* http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co

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 * 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
 ==버전2==
 * 타원적분
+:<math>I(a,b) = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta</math>
 * 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.
+:<math>(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})</math>
-<math>(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})</math>
+즉, 다음이 성립한다
 ==버전3==
 *  hypergeometric 급수와 타원 적분
-*  hypergeometric 급수와 타원 적분:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
+:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math>
-*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
+*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
-* [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조<br>
+:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math>
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-==란덴변환과 AGM==
+==란덴변환과 산술 기하 평균==
-란덴변환을 통해, 타원적분과 AGM의 다음과 같은 관계가 유도 가능
+;증명
-<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
+란덴변환을 무한히 반복하면, 다음을 얻는다
+==관련된 항목들==
-==관련된 다른 주제들==
+* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
 ==관련도서==
-* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
+* Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]
-==사전 참고자료==
+==사전 형태의 참고자료==
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Landen's_transformation
-==참고할만한 자료==
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
-* [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary]<br>
+* Gert Almkvist and Bruce Berndt [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary] The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
-** Gert Almkvist and Bruce Berndt
+* Manna, Dante, and Victor H. Moll. 2007. “A Simple Example of a New Class of Landen Transformation.” arXiv:0707.3911 [math]. http://arxiv.org/abs/0707.3911. Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
-** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
+* Dante V. Manna and Victor H. Moll [http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf Landen survey]
 ** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
 [[분류:타원적분]]

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	** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir		** 287-319p from <em style="">Probability, Geometry and Integrable Systems</em> For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
	* http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf		* http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf
		+	[[분류:타원적분]]

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−	==~~표준적인 도서 및 추천도서~~==	+	==관련도서==

	* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>		* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>

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 ==버전1==
-* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br>
+* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br>
 * 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
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 ==버전3==
-*  hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
+*  hypergeometric 급수와 타원 적분:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
-*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
+*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
 * [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조<br>
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 란덴변환을 무한히 반복하면,
-<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}</math><br><br><math>b^2 = a^2 (1 - k^2)</math> 로 두면,
+<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}</math><br>:<math>b^2 = a^2 (1 - k^2)</math> 로 두면,
 <math>I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)</math>
-<math>a=1, b=\sqrt{1-k^2}</math> 이면<br><math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
+<math>a=1, b=\sqrt{1-k^2}</math> 이면:<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>