렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:04에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

2020년 11월 12일 (목) 08:34에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T08:34:37Z

Pythagoras0: /* 역사 */

2015-04-05T12:10:17Z

역사

Pythagoras0: /* 재미있는 사실 */

2015-04-05T12:05:19Z

재미있는 사실

Pythagoras0: /* 역사 */

2015-04-05T12:04:42Z

역사

Pythagoras0: /* 재미있는 사실 */

2015-04-05T11:59:02Z

재미있는 사실

Pythagoras0: /* 역사 */

2015-04-05T10:40:02Z

역사

2015년 4월 5일 (일) 10:36에 Pythagoras0님의 편집

2015-04-05T10:36:48Z

2015년 4월 5일 (일) 09:33에 Pythagoras0님의 편집

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 [[분류:타원적분]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q10545374 Q10545374]

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	[[분류:곡선]]		[[분류:곡선]]
	[[분류:타원적분]]		[[분류:타원적분]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q10545374 Q10545374]

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 렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 <math>L</math>은 [[타원적분]]으로 표현되며 다음이 성립한다
 :<math>L=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt{2}})=5.2441\cdots</math>
-여기서 $K$는 [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
+여기서 <math>K</math>는 [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
-$$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.$$
+:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.</math>
 또한 다음이 성립한다
 :<math>L=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}</math>
-여기서 $B$는 [[오일러 베타적분(베타함수)]]이고, $\Gamma$는 [[감마함수]]
+여기서 <math>B</math>는 [[오일러 베타적분(베타함수)]]이고, <math>\Gamma</math>는 [[감마함수]]
 ;증명
 렘니스케이트 곡선은 <math>x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta</math>로 매개화되며, 다음을 확인할 수 있다
-$$
+:<math>
 r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)}
-$$
+</math>
 매개화를 이용하여, 둘레의 길이를 계산하면 다음을 얻는다
 :<math>L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta</math>
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 :<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi \label{eq1}</math>
 \ref{eq1}로부터 다음을 얻는다
-$$
+:<math>
 L=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})
-$$
+</math>
 \ref{eq1}에서 <math>x=\cos\phi</math>로 치환하면,
 :<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441</math>
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 ==가우스의 렘니스케이트 상수==
-* 렘니스케이트 상수 $\omega$를 다음과 같이 정의
+* 렘니스케이트 상수 <math>\omega</math>를 다음과 같이 정의
 :<math>\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.62\cdots</math>
 * 수론적 성질에 대해서는 [[가우스의 렘니스케이트 상수]] 항목 참조
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 * 1684  베르누이 'Acta Eruditorum'
 * 18세기 파그나노, 오일러, 르장드르의 타원적분 연구
-* 1798~1799년 가우스가 $\pi/\omega$가 1과 $\sqrt2$의 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]이 됨을 관찰
+* 1798~1799년 가우스가 <math>\pi/\omega</math>가 1과 <math>\sqrt2</math>의 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]이 됨을 관찰
 * [[수학사 연표]]

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 ==역사==
+* http://www.gormagon.org/2005/04/17/the-lemniscate-infinity-symbol/
 * 1684  베르누이 'Acta Eruditorum'
 * 18세기 파그나노, 오일러, 르장드르의 타원적분 연구

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 * 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
-* 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그로인해 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음
+* 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그 때문에 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음
 [[파일:렘니스케이트 반지.png|300px]]

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 * 1684  베르누이 'Acta Eruditorum'
 * 18세기 Fagnano, Euler, and Legendre 에 의한 연구
-*  1798~1799년의 시기에 가우스는 이 곡선의 길이와 관련하여 다음과 같은 기록을 일기에 남김. ([http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC&pg=PA99&lpg=PA99&dq=gauss+new+analysis+lemniscate&source=web&ots=zguJpj77J9&sig=fnWL0QJ09eHIqPElVjrSoXaQW5M#PPA99,M1 Pi-unleashed, 99p])
+* 1798~1799년 가우스가 $\pi/\omega$가 1과 $\sqrt2$의 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]이 됨을 관찰
 * [[수학사 연표]]
 ==관련된 항목들==

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 ==가우스의 렘니스케이트 상수==
-* [[가우스의 렘니스케이트 상수]] 항목 참조
+* 렘니스케이트 상수 $\omega$를 다음과 같이 정의
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 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjRmZjkwMjgtNGY0Mi00MzllLWExMGQtZjExZjIzZWMyNDRk&sort=name&layout=list&num=50
 ==사전 형태의 자료==
@@ 99번째 줄: / 96번째 줄: @@
 ==관련도서==
 *  Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
 ** M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.
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 [[분류:곡선]]
 [[분류:타원적분]]

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	==가우스의 렘니스케이트 상수==		==가우스의 렘니스케이트 상수==
−	* 가우스의 렘니스케이트 상수 ~~$\omega$를 다음과 같이 정의~~	+	* [[가우스의 렘니스케이트 상수]] 항목 참조
−	~~:<math>\omega:=L/2=2.62\cdots</math>~~
−	* [[타원곡선 y²=x³-x]]의 주기([[periods]])이며 [[무리수와 초월수\|초월수]]임.
−
−
−	~~===원주율과의 비교===~~
−	* 가우스는 단위원의 둘레의 길이와 렘니스케이트의 둘레의 길이의 비율을 계산하였다
−	~~:<math>\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots</math>~~
−	~~:<math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots</math>~~
−	~~:<math>\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots</math>~~
−	~~[[파일:렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분2.png]]~~
−	* 가우스는 이 수가 $\sqrt{2}$과 1의 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]이 되는 것을 관찰
−
−
−	~~;정리~~
−	~~다음이 성립한다~~
−	~~:<math>\frac{\pi }{\omega}=M(1,\sqrt2)</math>~~
−	~~여기서 <math>M(a,b)</math> 은 두 수 $a, b$의 [[산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)]]~~
−
−	~~;증명~~
−
−	~~렘니스케이트 상수의 타원적분 표현~~
−	~~$$\frac{\omega}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})\label{ome}$$~~
−	~~한편 [[란덴변환(Landen's transformation)~~]] ~~에서 다음을 얻었다~~
−	~~$$K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\label{landen}$$~~
−	~~\ref{ome}와 \ref{landen}를 이용하여 다음을 얻는다:~~
−	~~$$\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = \sqrt{2}M(1,\frac{1}{\sqrt2})=M(1,\sqrt2)$$~~
−	■
−	~~===테이블===~~
−	$$
−	~~\begin{array}{ccc}~~
−	~~{n} & a_n & b_n \\~~
−	~~\hline~~
−	~~0 & 1.4142135623730950488 & 1.0000000000000000000 \\~~
−	~~1 & 1.2071067811865475244 & 1.1892071150027210667 \\~~
−	~~2 & 1.1981569480946342956 & 1.1981235214931201226 \\~~
−	~~3 & 1.1981402347938772091 & 1.1981402346773072058 \\~~
−	~~4 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\~~
−	~~5 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\~~
−	~~6 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\~~
−	~~7 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\~~
−	~~8 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\~~
−	~~9 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\~~
−	~~\end{array}~~
−	$$