로바체프스키 함수 - 편집 역사

2020년 11월 16일 (월) 12:00에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T12:00:22Z

Pythagoras0: /* special values */

2015-08-21T06:45:23Z

special values

2015년 3월 30일 (월) 05:00에 Pythagoras0님의 편집

2015-03-30T05:00:00Z

2014년 3월 25일 (화) 02:06에 Pythagoras0님의 편집

2014-03-25T02:06:17Z

2013년 6월 8일 (토) 09:08에 Pythagoras0님의 편집

2013-06-08T09:08:29Z

2013년 6월 8일 (토) 09:07에 Pythagoras0님의 편집

2013-06-08T09:07:28Z

Pythagoras0: /* 3차원 쌍곡기하학과의 관계 */

2013-05-25T18:28:30Z

3차원 쌍곡기하학과의 관계

Pythagoras0: /* 관련된 항목들 */

2013-05-23T16:50:24Z

2013년 5월 23일 (목) 16:49에 Pythagoras0님의 편집

2013-05-23T16:49:44Z

2013년 5월 22일 (수) 11:31에 Pythagoras0님의 편집

2013-05-22T11:31:13Z

@@ 38번째 줄: / 38번째 줄: @@
 ==덧셈공식==
 * 예
-$$
+:<math>
 \Lambda (2\theta )=2 \left(\Lambda (\theta )+\Lambda (\theta +\frac{\pi }{2})\right)
-$$
+</math>
-$$
+:<math>
 \Lambda (3\theta )=3 \left(\Lambda (\theta )+\Lambda (\theta +\frac{\pi }{3})+\Lambda (\theta +\frac{2 \pi }{3})\right)
-$$
+</math>
 ;정리
-자연수 $n$에 대하여 다음이 성립한다
+자연수 <math>n</math>에 대하여 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})
-$$
+</math>
 ;증명
 다음을 이용하자
@@ 55번째 줄: / 55번째 줄: @@
 :<math>\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C \label{feq}
 </math>
-이제 $C=0$임을 보이면 된다. <math>n=2</math>인 경우를 생각하자
+이제 <math>C=0</math>임을 보이면 된다. <math>n=2</math>인 경우를 생각하자
 :<math>\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C</math>
 <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> 이면,
@@ 65번째 줄: / 65번째 줄: @@
 한편,  <math>\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|</math> 는 <math>\pi</math> 를 주기로 가지므로, <math>\Lambda(\theta)</math> 역시 <math>\pi</math>를 주기로 갖는 함수가 된다. 즉
 :<math>\Lambda(\theta+\pi)=\Lambda(\theta)\label{per}</math>
-이제 \ref{feq}에 기함수의 성질 $\Lambda(-\theta)=-\Lambda(\theta)$과 \ref{per}를 적용하여, <math>C=0</math>을 얻는다. ■
+이제 \ref{feq}에 기함수의 성질 <math>\Lambda(-\theta)=-\Lambda(\theta)</math>과 \ref{per}를 적용하여, <math>C=0</math>을 얻는다. ■
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 ==special values==
-* $2\Lambda(\frac{\pi}{6})=3\Lambda(\frac{\pi}{3})=\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})$
+* <math>2\Lambda(\frac{\pi}{6})=3\Lambda(\frac{\pi}{3})=\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})</math>
 ** 이상 쌍곡 정사면체(ideal regular tetrahedron)의 부피
 ** http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
-* $6\Lambda(\frac{\pi}{3})=2.0298832128193072500\cdots$
+* <math>6\Lambda(\frac{\pi}{3})=2.0298832128193072500\cdots</math>
-** figure-eight 매듭 K에 의해 정의되는 3차원 쌍곡다양체 $S^3-K$의 부피
+** figure-eight 매듭 K에 의해 정의되는 3차원 쌍곡다양체 <math>S^3-K</math>의 부피
-* $2\Lambda(\frac{\pi}{4})+\Lambda(\frac{\pi}{2})=0.915965594\cdots$는 [[카탈란 상수]]
+* <math>2\Lambda(\frac{\pi}{4})+\Lambda(\frac{\pi}{2})=0.915965594\cdots</math>는 [[카탈란 상수]]
 ==역사==

@@ 83번째 줄: / 83번째 줄: @@
 * $6\Lambda(\frac{\pi}{3})=2.0298832128193072500\cdots$
 ** figure-eight 매듭 K에 의해 정의되는 3차원 쌍곡다양체 $S^3-K$의 부피
+* $2\Lambda(\frac{\pi}{4})+\Lambda(\frac{\pi}{2})=0.915965594\cdots$는 [[카탈란 상수]]
 ==역사==

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	[[분류:다이로그]]		[[분류:다이로그]]
	[[분류:쌍곡기하학]]		[[분류:쌍곡기하학]]
		+	[[분류:특수함수]]

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 * [[다이로그 함수(dilogarithm)]]는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨
-* <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>:<math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속
+:<math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>
 * <math>z=e^{2i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math>
 * 따라서 <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)</math>
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 ==멱급수 전개==
+* <math>0 < \theta <\pi</math> 일 때,
-<math>0 < \theta <\pi</math> 일 때,
+:<math>\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}</math>
+여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수]]
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 * 예
 $$
-\Lambda (2\theta )=2 \left(\Lambda (\theta )+\Lambda \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)\right)
+\Lambda (2\theta )=2 \left(\Lambda (\theta )+\Lambda (\theta +\frac{\pi }{2})\right)
 $$
 $$
-\Lambda (3\theta )=3 \left(\Lambda (\theta )+\Lambda \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)+\Lambda \left(\theta +\frac{2 \pi }{3}\right)\right)
+\Lambda (3\theta )=3 \left(\Lambda (\theta )+\Lambda (\theta +\frac{\pi }{3})+\Lambda (\theta +\frac{2 \pi }{3})\right)
 $$
-; 정리
+;정리
 $$
 \Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})
 $$
-===증명===
+;증명
+다음을 이용하자
-<math>2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})</math>
+:<math>2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})</math>
+양변의 절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,다음을 얻는다
-절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,
+:<math>\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C \label{feq}
 </math>
-<math>\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C</math>
+이제 $C=0$임을 보이면 된다. <math>n=2</math>인 경우를 생각하자
+:<math>\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C</math>
 <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> 이면,
+:<math>\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi)+C</math>
 <math>\theta=0</math> 이면,
+:<math>\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C</math>
 두 식으로부터
+:<math>\Lambda(\pi)=\Lambda(0)</math>을 얻는다.
-<math>\Lambda(\pi)=\Lambda(0)</math>을 얻는다.
+한편,  <math>\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|</math> 는 <math>\pi</math> 를 주기로 가지므로, <math>\Lambda(\theta)</math> 역시 <math>\pi</math>를 주기로 갖는 함수가 된다. 즉
+:<math>\Lambda(\theta+\pi)=\Lambda(\theta)\label{per}</math>
-한편,  <math>\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|</math> 는 <math>\pi</math> 를 주기로 가지므로, <math>\Lambda(\theta)</math> 역시 <math>\pi</math>를 주기로 갖는 함수가 된다.
+이제 \ref{feq}에 기함수의 성질 $\Lambda(-\theta)=-\Lambda(\theta)$과 \ref{per}를 적용하여, <math>C=0</math>을 얻는다. ■

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	** Chapter 7 (pdf)		** Chapter 7 (pdf)
	[[분류:다이로그]]		[[분류:다이로그]]
		+	[[분류:쌍곡기하학]]

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-==dilogarithm 함수와의 관계==
+==다이로그 함수와의 관계==
-* [[다이로그 함수(dilogarithm)|dilogarithm 함수]]는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨
+* [[다이로그 함수(dilogarithm)]]는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨
 * <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>:<math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속
 * <math>z=e^{2i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math>
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 ** <math>\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)</math>
 *  이면각 (dihedral angles) : 주어진 모서리를 공유하는 두 면이 이루는 각
 ==special values==
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 * $6\Lambda(\frac{\pi}{3})=2.0298832128193072500\cdots$
 ** figure-eight 매듭 K에 의해 정의되는 3차원 쌍곡다양체 $S^3-K$의 부피
@@ 119번째 줄: / 118번째 줄: @@
 ==관련된 항목들==
-* [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm]]
+* [[다이로그 함수(dilogarithm)]]
 * [[쌍곡기하학]]
 * [[3차원 쌍곡 사면체의 부피]]
 * [[쌍곡 정십이면체]]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==

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 ==3차원 쌍곡기하학과의 관계==
-*  이면각이  <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어진 ideal tetrahedron <math>T</math>에 대하여, 다음이 성립
+*  이면각이  <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어진 ideal tetrahedron <math>T</math>에 대하여, 다음이 성립한다
 ** <math>\alpha+\beta+\gamma=\pi</math>
 ** <math>\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)</math>
 *  이면각 (dihedral angles) : 주어진 모서리를 공유하는 두 면이 이루는 각
 ==special values==