리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론 - 편집 역사

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2014-02-05T06:06:15Z

Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 복소수체 위의 15차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$ * $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$ * $A_3$ ...

2014-02-04T13:27:41Z

새 문서: ==개요== * 복소수체 위의 15차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$ * $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$ * $A_3$ ...

새 문서

==개요==
* 복소수체 위의 15차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$
* $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$
* $A_3$ 타입의 단순 리대수

==리대수 $\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$==
* 기저
$$
\begin{array}{|rcl|}
\hline
h_1 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \\
\hline
h_2 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \\
\hline
h_3 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}
\right) \\
\hline
e_1 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \\
\hline
e_2 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \\
\hline
e_3 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \\
\hline
e_4 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \\
\hline
e_5 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \\
\hline
e_6 & = & \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right) \\
\hline
f_i & = & e_i^t,\quad 1\leq i\leq 6 \\
\hline
\end{array}
$$
* $A_3$ 카르탄 행렬
:<math>A=\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{array}
\right)</math>
* $A_3$ 루트 시스템
:<math>\Phi=\left\{
\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\\
-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _1-\alpha _2,-\alpha _2-\alpha _3,-\alpha _1-\alpha _2-\alpha _3
\right
\}</math>
* 바일군
$$\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\
s[1,2,1],s[1,2,3],s[1,3,2],s[2,1,3],s[2,3,2],s[3,2,1],\\
s[1,2,1,3],s[1,2,3,2],s[1,3,2,1],s[2,1,3,2],s[2,3,2,1],s[1,2,1,3,2],s[1,2,3,2,1],s[2,1,3,2,1],s[1,2,1,3,2,1]\}
$$
* <math>A_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^4</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
** <math>\alpha_1=(1,-1,0,0)</math>
** <math>\alpha_2=(0,1,-1,0)</math>
** <math>\alpha_3=(0,0,1,-1)</math>
* fundamental weights
** $\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))$
** $\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))$
** $\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))$
* 바일 벡터 <math>\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))</math>

==유한차원 기약 표현의 분류==
* 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다
$$
\dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3)
$$

==기약표현의 예==
* 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의
$$
\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
$$
* $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]$의 원소가 된다
* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
===예1===
* fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
* 4차원 표현
* 지표
$$
\chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2}
$$

===예2===
* adjoint 표현, highest weight은 $\omega_1+\omega_3$
* 15차원 표현
* 지표
$$
\chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2}
$$

==관련된 항목들==
* [[리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론]]
* [[리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론]]

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZUxWaFY4ZDRvTHM/edit

[[분류:리군과 리대수]]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* 복소수체 위의 15차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$
+* 복소수체 위의 15차원 리대수 <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})</math>
-* $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$
+* <math>\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}</math>
-* $A_3$ 타입의 단순 리대수
+* <math>A_3</math> 타입의 단순 리대수
-==리대수 $\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$==
+==리대수 <math>\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})</math>==
 * 기저
-$$
+:<math>
 \begin{array}{|rcl|}
 \hline
@@ 94번째 줄: / 94번째 줄: @@
 \hline
 \end{array}
-$$
+</math>
-* $A_3$ 카르탄 행렬
+* <math>A_3</math> 카르탄 행렬
 :<math>A=\left(
 \begin{array}{ccc}
@@ 103번째 줄: / 103번째 줄: @@
 \end{array}
 \right)</math>
-* $A_3$ 루트 시스템
+* <math>A_3</math> 루트 시스템
 :<math>\Phi=\left\{
 \alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\\
@@ 110번째 줄: / 110번째 줄: @@
 \}</math>
 * 바일군
-$$\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\
+:<math>\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\
 s[1,2,1],s[1,2,3],s[1,3,2],s[2,1,3],s[2,3,2],s[3,2,1],\\
 s[1,2,1,3],s[1,2,3,2],s[1,3,2,1],s[2,1,3,2],s[2,3,2,1],s[1,2,1,3,2],s[1,2,3,2,1],s[2,1,3,2,1],s[1,2,1,3,2,1]\}
-$$
+</math>
 * <math>A_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^4</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
 ** <math>\alpha_1=(1,-1,0,0)</math>
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 [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론1.png]]
 * fundamental weights
-** $\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))$
+** <math>\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))</math>
-** $\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))$
+** <math>\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))</math>
-** $\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))$
+** <math>\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))</math>
 * 바일 벡터 <math>\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))</math>
 ==유한차원 기약 표현의 분류==
-* 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
+* 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립
 * [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다
-$$
+:<math>
 \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3)
-$$
+</math>
 ==기약표현의 예==
-* 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의
+* 표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표를 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
-$$
+</math>
-* $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]$의 원소가 된다
+* <math>x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}</math>로 두면, <math>\chi_{\lambda}</math>는 <math>\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]</math>의 원소가 된다
 * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
 ===예1===
-* fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
+* fundamental 표현, highest weight은 <math>\omega_1</math>
 * 4차원 표현
 * 지표
-$$
+:<math>
 \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2}
-$$
+</math>
 * weight diagram
 [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론2.png]]
@@ 153번째 줄: / 153번째 줄: @@
 ===예2===
-* adjoint 표현, highest weight은 $\omega_1+\omega_3$
+* adjoint 표현, highest weight은 <math>\omega_1+\omega_3</math>
 * 15차원 표현
 * 지표
-$$
+:<math>
 \chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2}
-$$
+</math>
 * weight diagram
 [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론3.png]]
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 ===예3===
-* highest weight $\omega_1+\omega_2+\omega_3$
+* highest weight <math>\omega_1+\omega_2+\omega_3</math>
 * 64차원 표현
 * weight diagram

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 ** <math>\alpha_2=(0,1,-1,0)</math>
 ** <math>\alpha_3=(0,0,1,-1)</math>
 * fundamental weights
 ** $\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))$
@@ 147번째 줄: / 148번째 줄: @@
 \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2}
 $$
 ===예2===
@@ 155번째 줄: / 159번째 줄: @@
 \chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2}
 $$
 ==관련된 항목들==