리만 곡률 텐서 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:41에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T12:41:37Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:33:32Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 16일 (월) 12:01에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T12:01:08Z

2014년 2월 2일 (일) 10:27에 Pythagoras0님의 편집

2014-02-02T10:27:25Z

2014년 2월 1일 (토) 14:06에 Pythagoras0님의 편집

2014-02-01T14:06:34Z

2014년 2월 1일 (토) 14:02에 Pythagoras0님의 편집

2014-02-01T14:02:21Z

2014년 2월 1일 (토) 12:36에 Pythagoras0님의 편집

2014-02-01T12:36:52Z

2014년 2월 1일 (토) 10:33에 Pythagoras0님의 편집

2014-02-01T10:33:16Z

2013년 3월 22일 (금) 01:22에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-22T01:22:03Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T23:31:23Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

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 [[분류:미분기하학]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q855112 Q855112]

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	[[분류:미분기하학]]		[[분류:미분기하학]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q855112 Q855112]

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 * 리만 다양체 위에 정의된 리만 [[접속 (connection)]] <math>\nabla</math>을 생각하자
-* 세 개의 벡터장 $X,Y,Z$가 주어지면, 새로운 벡터장 $R(X,Y)Z$를 다음과 같이 얻는다
+* 세 개의 벡터장 <math>X,Y,Z</math>가 주어지면, 새로운 벡터장 <math>R(X,Y)Z</math>를 다음과 같이 얻는다
 :<math>R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z</math>
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 ===성질===
 * 리만 곡률 텐서는 다음의 대칭성을 갖는다
-# $R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}$
+# <math>R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}</math>
-# $R_{ijkl}=R_{klij}$
+# <math>R_{ijkl}=R_{klij}</math>
-# $R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0$, 비앙키 항등식
+# <math>R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0</math>, 비앙키 항등식
 ===선형 독립인 항의 개수===
-* 리만다양체의 차원이 $n$이라 하자
+* 리만다양체의 차원이 <math>n</math>이라 하자
-* 리만 곡률 텐서의 대칭성으로 인하여 선형 독립인 리만 곡률 텐서의 성분의 개수는 $n^2(n^2-1)/12$이 된다
+* 리만 곡률 텐서의 대칭성으로 인하여 선형 독립인 리만 곡률 텐서의 성분의 개수는 <math>n^2(n^2-1)/12</math>이 된다
-* $n=2$일 때, 모든 성분은 0 또는 $\pm R_{1212}$
+* <math>n=2</math>일 때, 모든 성분은 0 또는 <math>\pm R_{1212}</math>
-* $n=3$일 때, 모든 성분은 0 또는 $\pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1223},\pm R_{1313},\pm R_{1323},\pm R_{2323}$
+* <math>n=3</math>일 때, 모든 성분은 0 또는 <math>\pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1223},\pm R_{1313},\pm R_{1323},\pm R_{2323}</math>
-* $n=4$일 때, 모든 성분은 0 또는
+* <math>n=4</math>일 때, 모든 성분은 0 또는
-$$
+:<math>
 \pm R_{1212},\pm R_{1213},\pm R_{1214},\pm R_{1223},\pm R_{1224},\\
 \pm R_{1234},\pm R_{1313},\pm R_{1314},\pm R_{1323},\pm R_{1324},\\
@@ 33번째 줄: / 33번째 줄: @@
 \pm R_{2323},\pm R_{2324},\pm R_{2334},\pm R_{2424},\pm R_{2434},\\
 \pm R_{3434}
-$$이며, 여기서 $R_{1234}-R_{1324}+R_{1423}=0$가 성립
+</math>이며, 여기서 <math>R_{1234}-R_{1324}+R_{1423}=0</math>가 성립

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 ==개요==
-* [[접속 (connection)]] <math>\nabla</math>이 정의되어 있다고 하자
+* 리만 다양체 위에 정의된 리만 [[접속 (connection)]] <math>\nabla</math>을 생각하자
-*  세 개의 벡터장 X,Y,Z 가 주어지면, 새로운 벡터장 $R(X,Y)Z$ 를 얻는다
+* 세 개의 벡터장 $X,Y,Z$가 주어지면, 새로운 벡터장 $R(X,Y)Z$를 다음과 같이 얻는다
 :<math>R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z</math>
 ==리만 곡률 텐서==

@@ 33번째 줄: / 33번째 줄: @@
 \pm R_{1234},\pm R_{1313},\pm R_{1314},\pm R_{1323},\pm R_{1324},\\
 \pm R_{1334},\pm R_{1414},\pm R_{1423},\pm R_{1424},\pm R_{1434},\\
-\pm R_{2323},\pm R_{2324},\pm R_{2334},\pm R_{2424},\pm R_{2434},\pm R_{3434}
+\pm R_{2323},\pm R_{2324},\pm R_{2334},\pm R_{2424},\pm R_{2434},\\
 $$이며, 여기서 $R_{1234}-R_{1324}+R_{1423}=0$가 성립

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 :<math>R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z</math>
 * covariant tensor
@@ 28번째 줄: / 26번째 줄: @@
 * 리만다양체의 차원이 $n$이라 하자
 * 리만 곡률 텐서의 대칭성으로 인하여 선형 독립인 리만 곡률 텐서의 성분의 개수는 $n^2(n^2-1)/12$이 된다
 ==곡률 2형식==
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 * <math>\Omega^i_{j}=d\omega^i_{j} +\sum_k \omega^i_{k}\wedge\omega^k_{j}</math>

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	# $R_{ijkl}=R_{klij}$		# $R_{ijkl}=R_{klij}$
	# $R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0$, 비앙키 항등식		# $R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0$, 비앙키 항등식
		+
		+	===선형 독립인 항의 개수===
		+	* 리만다양체의 차원이 $n$이라 하자
		+	* 리만 곡률 텐서의 대칭성으로 인하여 선형 독립인 리만 곡률 텐서의 성분의 개수는 $n^2(n^2-1)/12$이 된다
		+

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 * [[접속 (connection)]] <math>\nabla</math>이 정의되어 있다고 하자
-*  세 개의 벡터장 X,Y,Z 가 주어지면, 새로운 벡터장 R(X,Y)Z 를 얻는다:<math>R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z</math><br>
+*  세 개의 벡터장 X,Y,Z 가 주어지면, 새로운 벡터장 $R(X,Y)Z$ 를 얻는다
 * covariant tensor
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 * <math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})</math>
-* [[크리스토펠 기호]] 를 이용한 성분의 계산:<math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}     - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}     + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}     - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}</math>:<math>{R^l}_{kij} = \partial_i\Gamma^l_{jk} - \partial_j\Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{is}\Gamma^s_{jk} - \Gamma^l_{js}\Gamma^s_{ik}</math>:<math>R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu} .</math><br>
+* [[크리스토펠 기호]] 를 이용한 성분의 계산
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 ==곡률 2형식==
-* <math>R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s</math><br>
+* <math>R(X,Y)\partial_{j}=\Omega_{j}^{s}(X,Y)\partial_s</math>
-* <math>\,\Omega=d\omega +\frac{1}{2}[\omega,\omega]=d\omega +\omega\wedge \omega</math><br>
+* <math>\,\Omega=d\omega +\frac{1}{2}[\omega,\omega]=d\omega +\omega\wedge \omega</math>
-* <math>\Omega^i_{j}=d\omega^i_{j} +\sum_k \omega^i_{k}\wedge\omega^k_{j}</math><br>
+* <math>\Omega^i_{j}=d\omega^i_{j} +\sum_k \omega^i_{k}\wedge\omega^k_{j}</math>
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 ==곡면의 경우==
-*  제1기본형식이 <math>E=e(u,v),F=0,G=g(u,v)</math> 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 <math> R_{jkl}^i</math>는 0이다):<math> R_{212}^1 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}</math>:<math>R_{112}^2 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}</math>:<math>R_{221}^1 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}</math>:<math>R_{121}^2 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}</math><br>
+*  제1기본형식이 <math>E=e(u,v),F=0,G=g(u,v)</math> 로 주어진 경우, 리만 곡률 텐서는 다음과 같다 (이외의 <math> R_{jkl}^i</math>는 0이다):<math> R_{212}^1 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}</math>:<math>R_{112}^2 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}</math>:<math>R_{221}^1 = -\frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v)^2 g(u,v)}</math>:<math>R_{121}^2 = \frac{e(u,v) \left(e^{(0,1)}(u,v) g^{(0,1)}(u,v)+g^{(1,0)}(u,v)^2\right)+g(u,v) \left(e^{(1,0)}(u,v) g^{(1,0)}(u,v)-2 e(u,v) \left(e^{(0,2)}(u,v)+g^{(2,0)}(u,v)\right)+e^{(0,1)}(u,v)^2\right)}{4 e(u,v) g(u,v)^2}</math>
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 ==역사==
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 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 * [[수학사 연표]]
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 ==메모==
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 * http://users-phys.au.dk/fedorov/nucltheo/GTR/09/note6.pdf
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 ==관련된 항목들==
@@ 64번째 줄: / 73번째 줄: @@
 * [[접속 (connection)]]
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxN2ZmMGViMGQtMmI4Ny00MmI3LWE4ZTYtYmQyNjZiYWVhMTc5&sort=name&layout=list&num=50
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-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor
-==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
-* http://www.math.csusb.edu/faculty/dunn/lecture1.pdf
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
 [[분류:미분기하학]]

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	* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=		* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]