리만 제타 함수 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:41에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T12:41:48Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:33:25Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 12일 (목) 08:35에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T08:35:51Z

Pythagoras0: Pythagoras0 사용자가 리만제타함수 문서를 리만 제타 함수 문서로 옮겼습니다.

2015-09-18T05:03:43Z

Pythagoras0 사용자가 리만제타함수 문서를 리만 제타 함수 문서로 옮겼습니다.

Pythagoras0: /* special values */

2015-08-18T11:15:38Z

special values

Pythagoras0: /* special values */

2015-03-21T06:47:52Z

special values

2014년 7월 16일 (수) 07:53에 Pythagoras0님의 편집

2014-07-16T07:53:33Z

2014년 7월 7일 (월) 00:44에 Pythagoras0님의 편집

2014-07-07T00:44:31Z

2013년 4월 11일 (목) 10:02에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-11T10:02:31Z

2013년 4월 5일 (금) 12:12에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-05T12:12:30Z

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 [[분류:리만 제타 함수]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q187235 Q187235]

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	** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/24/695 리만의 제타함수 (10) : 두 자연수가 서로소일 확률]		** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/24/695 리만의 제타함수 (10) : 두 자연수가 서로소일 확률]
	[[분류:리만 제타 함수]]		[[분류:리만 제타 함수]]
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		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q187235 Q187235]

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 ==개요==
-* 복소수 $\Re(s)>1$에 대하여 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의
+* 복소수 <math>\Re(s)>1</math>에 대하여 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의
 :<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>
 * 이렇게 실수부가 1보다 큰 [[복소수]] 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.

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 * [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]]
 * [[ζ(4)와 중심이항계수]]
 ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==

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 * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
 * [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]]
-* [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]]
+* [[ζ(4)와 중심이항계수]]
 ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==

← 이전 판	2015년 9월 18일 (금) 05:03 판
(차이 없음)

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 * 이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]] 항목을 참조
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-==해석적확장 (analytic continuation)==
+==해석적확장 (analytic continuation)==
-* [[자코비 세타함수]]를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.:<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math><br>
+* [[자코비 세타함수]]를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.:<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math>
-* [[감마함수]]:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br> 를 이용하면, :<math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}</math><br>
+* [[감마함수]]:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math> 를 이용하면, :<math>\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}</math>
 * 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.
 :<math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
-* 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.
+* 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.
 :<math>\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
-여기서는 [[자코비 세타함수]]의 성질
+여기서는 [[자코비 세타함수]]의 성질
 :<math>\theta(iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})</math>
 이 사용됨.
-* [http://people.reed.edu/%7Ejerry/311/zeta.pdf http://people.reed.edu/~jerry/311/zeta.pdf] analytic continuation
+==리만제타함수의 함수방정식==
+*  리만제타함수는 <math>s=\frac{1}{2}</math> 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.:<math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math> 즉,:<math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math>
+;증명
-==리만제타함수의 함수방정식==
+[[자코비 세타함수]]의 모듈라 성질을 사용하면,
 :<math>\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
-이므로, <math>\xi(s)</math> 의 정의를 이용하면,
+이므로, <math>\xi(s)</math> 의 정의를 이용하면,
 :<math>\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math>
 를 얻는다.
-이 식에서 <math>s \leftrightarrow 1-s</math> 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 <math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math>을 얻는다.
+이 식에서 <math>s \leftrightarrow 1-s</math> 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 <math>\xi(s) = \xi(1 - s)</math>을 얻는다.  ■
-−
 ==복소함수로서의 리만제타함수==
 * meromorphic function
-*  1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> 더 정확히는:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n</math>
+*  1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math>
-여기서 <math>\gamma_n</math>은 스틸체스 상수<br>
+* 더 정확히는:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n</math>
-−
 ==리만가설==
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-−
 ==special values==
@@ 82번째 줄: / 74번째 줄: @@
 ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
-* [[복소함수론]]<br>
+* [[복소함수론]]
 ** 해석적연속
 * [[해석적정수론]]
-−
-−
 ==관련된 항목들==
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 * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수|디리클레 수]]
-−
-−
 ==수학용어번역==
@@ 102번째 줄: / 94번째 줄: @@
 *  analytic continuation 해석적 접속
 ** [[해석적확장(analytic continuation)|해석적확장]]으로 하는게 적당해 보임
-* continuation     연속
+* continuation     연속
-* continuation method     연속법
+* continuation method     연속법
-* direct analytic continuation     직접해석접속
+* direct analytic continuation     직접해석접속
-−
-−
 ==관련도서==
@@ 112번째 줄: / 104번째 줄: @@
 * Harold M. Edwards [http://www.amazon.com/Riemanns-Zeta-Function-Harold-Edwards/dp/0486417409 Riemann's Zeta Function]
-−
-==관련논문과 에세이==
-* P Sarnak [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis], 2004
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
-−
 ==사전형태의 자료==
@@ 133번째 줄: / 125번째 줄: @@
 * http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/
-−
 ==블로그==
-* [http://www.msri.org/communications/vmath/VMathVideos/VideoInfo/3793/show_video Riemann's zeta function]<br>
+* [http://www.msri.org/communications/vmath/VMathVideos/VideoInfo/3793/show_video Riemann's zeta function]
 ** Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
 ** 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
-*  피타고라스의 창<br>
+*  피타고라스의 창
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/02/02/528 리만의 제타함수 (1)]
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/02/04/529 리만의 제타함수 (2) : 수의 체계]

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	** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/03/678 리만의 제타함수 (9) : 소수는 무한히 많다(ii)]		** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/03/678 리만의 제타함수 (9) : 소수는 무한히 많다(ii)]
	** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/24/695 리만의 제타함수 (10) : 두 자연수가 서로소일 확률]		** [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/24/695 리만의 제타함수 (10) : 두 자연수가 서로소일 확률]
		+	[[분류:리만 제타 함수]]