마친(Machin)의 공식 - 편집 역사

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

2013년 12월 2일 (월) 22:09에 Pythagoras0님의 편집

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2013년 7월 2일 (화) 15:06에 Pythagoras0님의 편집

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2013년 3월 14일 (목) 08:03에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-14T08:03:07Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T23:31:27Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
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찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

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찾아 바꾸기 – “<h5 (.*)">” 문자열을 “==” 문자열로

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” 문자열을 “==” 문자열로

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찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로

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 [[분류:원주율]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q726385 Q726385]

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	** [http://www.jstor.org/stable/3618213 ]Nick LordThe Mathematical Gazette, Vol. 73, No. 463 (Mar., 1989), pp. 47-49		** [http://www.jstor.org/stable/3618213 ]Nick LordThe Mathematical Gazette, Vol. 73, No. 463 (Mar., 1989), pp. 47-49
	[[분류:원주율]]		[[분류:원주율]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q726385 Q726385]

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+==증명==
-==배각공식을 통한 증명==
+===배각공식을 통한 증명===
 <math>\tan \alpha = \frac{1}{5}</math> 를 만족시키는 각도<math>\alpha</math>를 생각하자.
-탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,
+탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하여, 다음을 얻는다
+:<math>\tan  2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}</math>
-<math>\tan  2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}</math>
+:<math>\tan  4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}</math>
 이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
 이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자.
 탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.
+:<math>\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}</math>
 이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
-<math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math> 임을 확인하자.
+===복소수의 곱셈을 통한 증명===
 이로부터, 다음을 얻는다.
+:<math>4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi</math>
 따라서
-<math>4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi</math>. ■
+:<math>4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi</math>
 ■
 ==일반화==
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 * 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
 ==역사==
-*  1671년 [[그레고리-라이프니츠 급수]]
+* 1671년 [[그레고리-라이프니츠 급수]]
-*  1706년 마친, [[#|마친(Machin)의 공식]]을 활용하여 파이값 100자리까지 계산
+* 1706년 마친, [[#|마친(Machin)의 공식]]을 활용하여 파이값 100자리까지 계산
 * http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false
 * [[수학사 연표]]
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+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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 ==관련논문==
 * Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π  http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf
 * [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]

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 ==개요==
-*  아크탄젠트 함수를 통한 [[원주율(파이,π)]] 표현:<math>4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}</math><br>
+* 아크탄젠트 함수를 통한 [[원주율(파이,π)]] 표현:<math>4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}</math>
-* 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
+* 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
 * 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨
-−
-−
 ==배각공식을 통한 증명==
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 이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
-−
 이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자.
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 <math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math>■
-−
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 ==복소수의 곱셈을 통한 증명==
-<math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math> 임을 확인하자.
+<math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math> 임을 확인하자.
 이로부터, 다음을 얻는다.
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 따라서
-<math>4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi</math>. ■
+<math>4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi</math>. ■
-−
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 ==일반화==
@@ 65번째 줄: / 57번째 줄: @@
 * 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
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 ==역사==
-*  1671년 [[그레고리-라이프니츠 급수]]<br>
+*  1671년 [[그레고리-라이프니츠 급수]]
-*  1706년 마친, [[#|마친(Machin)의 공식]]을 활용하여 파이값 100자리까지 계산<br>
+*  1706년 마친, [[#|마친(Machin)의 공식]]을 활용하여 파이값 100자리까지 계산
-* http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false<br>
+* http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false
 * [[수학사 연표]]
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 ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
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 * [[삼각함수]]
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 ==관련된 항목들==
-* [[원주율(파이,π)|파이]]<br>
+* [[원주율(파이,π)|파이]]
-** [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|파이값의 계산]]
+** [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
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 ==사전형태의 참고자료==
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 * http://mathworld.wolfram.com/MachinsFormula.html
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 ==관련논문==
 * Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π  http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf
-* [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]
 ** Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337
-* [http://www.jstor.org/stable/3618213 Complex Numbers and Machin-Type Formulae for π]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/3618213 Complex Numbers and Machin-Type Formulae for π]
 ** [http://www.jstor.org/stable/3618213 ]Nick LordThe Mathematical Gazette, Vol. 73, No. 463 (Mar., 1989), pp. 47-49
 [[분류:원주율]]

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	* http://www.ams.org/mathscinet		* http://www.ams.org/mathscinet
	* http://dx.doi.org/		* http://dx.doi.org/
		+	[[분류:원주율]]

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 * http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false<br>
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=machin+formula
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
+==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 * [[마친(Machin)의 공식]]
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-<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사==
+==역사==
 *  1671년 [[그레고리-라이프니츠 급수]]<br>

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-<h5>개요</h5>
+==개요</h5>
 *  아크탄젠트 함수를 통한 [[원주율(파이,π)]] 표현<br><math>4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}</math><br>
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-<h5>배각공식을 통한 증명</h5>
+==배각공식을 통한 증명</h5>
 <math>\tan \alpha = \frac{1}{5}</math> 를 만족시키는 각도<math>\alpha</math>를 생각하자.
@@ 45번째 줄: / 45번째 줄: @@
-<h5>복소수의 곱셈을 통한 증명</h5>
+==복소수의 곱셈을 통한 증명</h5>
 <math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math> 임을 확인하자.
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-<h5>일반화</h5>
+==일반화</h5>
 * 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
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-<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
+==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
 * [[삼각함수]]
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-<h5>관련된 항목들</h5>
+==관련된 항목들</h5>
 * [[원주율(파이,π)|파이]]<br>
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-<h5>사전형태의 참고자료</h5>
+==사전형태의 참고자료</h5>
 * http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
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-<h5>관련논문</h5>
+==관련논문</h5>
 * Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π  http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf

마친(Machin)의 공식 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:42에 Pythagoras0님의 편집

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2013년 12월 2일 (월) 22:09에 Pythagoras0님의 편집

2013년 7월 2일 (화) 15:06에 Pythagoras0님의 편집

2013년 3월 14일 (목) 08:03에 Pythagoras0님의 편집

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