미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:44에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T12:44:01Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T13:36:32Z

메타데이터: 새 문단

2020년 12월 28일 (월) 10:22에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:22:42Z

2020년 11월 12일 (목) 14:37에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T14:37:28Z

Pythagoras0: section '리뷰, 에세이, 강의노트' added

2016-05-06T00:39:45Z

section '리뷰, 에세이, 강의노트' added

2013년 12월 30일 (월) 14:16에 Pythagoras0님의 편집

2013-12-30T14:16:55Z

차이 보기

2013년 3월 29일 (금) 16:53에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-29T16:53:06Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T23:39:27Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

2013-01-12T17:42:25Z

찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

2013년 1월 12일 (토) 15:31에 Pythagoras0님의 편집

2013-01-12T15:31:20Z

@@ 146번째 줄: / 146번째 줄: @@
 * Lorenzo Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, arXiv:1604.07862 [math.AT], April 26 2016, http://arxiv.org/abs/1604.07862
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1047080 Q1047080]

← 이전 판		2020년 12월 28일 (월) 13:36 판
145번째 줄:		145번째 줄:

	* Lorenzo Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, arXiv:1604.07862 [math.AT], April 26 2016, http://arxiv.org/abs/1604.07862		* Lorenzo Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, arXiv:1604.07862 [math.AT], April 26 2016, http://arxiv.org/abs/1604.07862
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1047080 Q1047080]

@@ 4번째 줄: / 4번째 줄: @@
 * 미분연산자는 미분형식 사이에 정의되는 사상으로 이해할 수 있다
-−
 ==미분연산자==
@@ 48번째 줄: / 48번째 줄: @@
 d_1\circ d_0=d_2\circ d_1=0
 </math>
-−
 ==1-형식의 적분==
@@ 62번째 줄: / 62번째 줄: @@
 :<math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt=\int_{C}\omega</math> ■
-−
-−
 ==2-형식의 적분==
@@ 80번째 줄: / 80번째 줄: @@
-−
 ==응용1. 스토크스 정리==
@@ 87번째 줄: / 87번째 줄: @@
 :<math>\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega</math>
-−
-−
 ==관련된 항목들==
@@ 98번째 줄: / 98번째 줄: @@
 * [[미분기하학]]
-−
-−
 ==수학용어번역==
 * {{학술용어집|url=gradient}}
-−
-−
 ==사전형태의 자료==
@@ 114번째 줄: / 114번째 줄: @@
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_forms
-−
-−
 ==관련논문==
@@ 129번째 줄: / 129번째 줄: @@
 ** Hans Samelson, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 108, No. 6 (Jun. - Jul., 2001), pp. 522-530
-−
 ==관련도서==

@@ 10번째 줄: / 10번째 줄: @@
 * [[미분연산자]]
 ===grad===
-* 스칼라 함수 $f$에 대하여, <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math>는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다
+* 스칼라 함수 <math>f</math>에 대하여, <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math>는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다
-$$
+:<math>
 \nabla f=( f_x, f_y,f_z)
-$$
+</math>
 * 벡터장 <math>\nabla f=( f_x, f_y,f_z)</math> 를 1-형식 <math>f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math>로 생각하자
 * <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math> 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
@@ 20번째 줄: / 20번째 줄: @@
 * 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>에 대하여, <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math> 는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다
 :<math>\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math>
-* $\mathbf{F}$를 1-형식 <math>F_1dx+F_2dy+F_3dz</math>, $\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla \times \mathbf{F}$를 다음과 같은 2-형식으로 생각하자
+* <math>\mathbf{F}</math>를 1-형식 <math>F_1dx+F_2dy+F_3dz</math>, <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla \times \mathbf{F}</math>를 다음과 같은 2-형식으로 생각하자
 :<math>\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math>
 * 이로부터 curl, <math>\nabla\times</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
 :<math>d_1:F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math>
 ===div===
-* 벡터장 $\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)$에 대하여, <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math>는 다음과 같이 정의된 스칼라 함수이다
+* 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)</math>에 대하여, <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math>는 다음과 같이 정의된 스칼라 함수이다
-$$
+:<math>
 \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}
-$$
+</math>
-* 벡터장 $\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)$를 2-형식 $F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy$로, 스칼라 함수 $\nabla \cdot \mathbf{F}$를 다음과 같은 3-형식으로 생각하자
+* 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)</math>를 2-형식 <math>F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy</math>로, 스칼라 함수 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math>를 다음과 같은 3-형식으로 생각하자
-$$
+:<math>
 \left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz
-$$
+</math>
 * 미분연산자 div는 2-형식을 -3형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
-$$
+:<math>
 d_2 : F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy \mapsto \left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz
-$$
+</math>
 ===성질===
-* 임의의 스칼라 함수 $f$와 벡터장 $\mathbf{F}$에 대하여, 다음이 성립한다
+* 임의의 스칼라 함수 <math>f</math>와 벡터장 <math>\mathbf{F}</math>에 대하여, 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \nabla \times (\nabla f)=0\\
 \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0
-$$
+</math>
 * 미분연산자를 미분형식에 정의되는 사상으로 이해하면, 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다
-$$
+:<math>
 d_1\circ d_0=d_2\circ d_1=0
-$$
+</math>
 ==1-형식의 적분==
-* 곡선 $C$의 매개화가 <math>\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t)), \quad a\leq t \leq b</math>로 주어지는 경우
+* 곡선 <math>C</math>의 매개화가 <math>\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t)), \quad a\leq t \leq b</math>로 주어지는 경우
 * 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>
 * 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
@@ 68번째 줄: / 68번째 줄: @@
 ==2-형식의 적분==
-* 3차원의 매개곡면 $S$, <math>\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v)),\quad (u,v)\in D</math>
+* 3차원의 매개곡면 <math>S</math>, <math>\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v)),\quad (u,v)\in D</math>
 * 2-form <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>
-*  S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다:<math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv</math><br>
+*  S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다:<math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv</math>
-*  곡면 S위에서 2-형식 <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>의 적분과 같다:<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega</math><br>
+*  곡면 S위에서 2-형식 <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>의 적분과 같다:<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega</math>
 ;증명
@@ 133번째 줄: / 133번째 줄: @@
 ==관련도서==
-* [http://www.amazon.com/Differential-Forms-Applications-Universitext-Manfredo/dp/3540576185 Differential Forms and Applications]<br>
+* [http://www.amazon.com/Differential-Forms-Applications-Universitext-Manfredo/dp/3540576185 Differential Forms and Applications]
 **  Manfredo P. Do Carmo
 * [http://www.amazon.com/Calculus-Cohomology-Rham-Characteristic-Classes/dp/0521589568 From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes]

← 이전 판		2016년 5월 6일 (금) 00:39 판
141번째 줄:		141번째 줄:
	[[분류:교과목]]		[[분류:교과목]]
	[[분류:미적분학]]		[[분류:미적분학]]
		+
		+	== 리뷰, 에세이, 강의노트 ==
		+
		+	* Lorenzo Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, arXiv:1604.07862 [math.AT], April 26 2016, http://arxiv.org/abs/1604.07862

← 이전 판		2013년 3월 29일 (금) 16:53 판
147번째 줄:		147번째 줄:

	[[분류:교과목]]		[[분류:교과목]]
		+	[[분류:미적분학]]

@@ 71번째 줄: / 71번째 줄: @@
 * [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]
 * [http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Earliest Uses of Various Mathematical Symbols]
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]

@@ 14번째 줄: / 14번째 줄: @@
 * [[미분연산자]]
-* <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math> 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보낸다<br><math>\nabla f=( f_x, f_y,f_z)</math> 를 1-형식 <math>f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math> 으로 이해하자.<br><math>d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math><br>
+* <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math> 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보낸다:<math>\nabla f=( f_x, f_y,f_z)</math> 를 1-형식 <math>f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math> 으로 이해하자.:<math>d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math><br>
-* <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다<br> 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>을 1-형식 <math>F_1dx+F_2dy+F_3dz</math>로 이해하자.<br><math>\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math> 는 2-형식 <math>\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math><br><math>d_1=\nabla\times</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다<br><math>F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math><br>
+* <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다<br> 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>을 1-형식 <math>F_1dx+F_2dy+F_3dz</math>로 이해하자.:<math>\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math> 는 2-형식 <math>\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math>:<math>d_1=\nabla\times</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다:<math>F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math><br>
 * <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math>
 * <math>\nabla \times (\nabla f)=0</math>
@@ 28번째 줄: / 28번째 줄: @@
 * 매개곡선 C:  <math>\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))</math>, <math>a\leq t \leq b</math>
 * 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>
-*  곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt</math><br>
+*  곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다:<math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt</math><br>
-*  곡선 C 위에서 1-형식<math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(P,Q,R)</math>의 선적분과 같다<br><math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega</math><br>
+*  곡선 C 위에서 1-형식<math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(P,Q,R)</math>의 선적분과 같다:<math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega</math><br>
 (증명)
@@ 43번째 줄: / 43번째 줄: @@
 * 3차원의 매개곡면 S : <math>\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))</math>, <math>(u,v)\in D</math>
 * 2-form <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>
-*  S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv</math><br>
+*  S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다:<math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv</math><br>
-*  곡면 S위에서 2-형식 <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>의 적분과 같다<br><math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega</math><br>
+*  곡면 S위에서 2-형식 <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>의 적분과 같다:<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega</math><br>
 (증명)
@@ 58번째 줄: / 58번째 줄: @@
 ==응용1. 스토크스 정리==
-* [[스토크스 정리]]<br><math>\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega</math><br>
+* [[스토크스 정리]]:<math>\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega</math><br>

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
@@ 153번째 줄: / 145번째 줄: @@
 **  Ib H. Madsen (Author), Jxrgen Tornehave<br>
 ** 뒷부분은 학부생이 보기에 다소 어렵지만, 앞부분만으로도 가치가 있음.