복소곱을 갖는 타원곡선과 singular moduli 강의노트 - 편집 역사

2020년 11월 12일 (목) 08:03에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T08:03:17Z

2014-05-19T04:28:42Z

$j$-불변량

2014-05-15T17:11:20Z

주어진 자기준동형사상 환(endomorphism ring)을 갖는 타원곡선

2014-05-15T17:10:08Z

복소곱(complex multiplication)

2014-05-15T16:43:36Z

테이블

2014-05-15T16:36:57Z

$j$-불변량

2014-05-15T16:19:48Z

2014-05-15T16:15:42Z

매스매티카 파일 및 계산리소스

2014-05-15T16:13:03Z

2014-05-15T15:46:12Z

$E$ and $j(E)$에 대한 갈루아 작용

@@ 121번째 줄: / 121번째 줄: @@
 * circle method에 의해 다음을 얻을 수 있다 ($j(\tau)$의 모듈라 성질이 여기에 중요한 역할을 한다)
 $$
-c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right)
+c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}
 $$
 ===테이블===

@@ 93번째 줄: / 93번째 줄: @@
 * $\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K$를 만족하는 모든 격자 $\Lambda$를 찾으려 한다.
 ;정리
-$\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K$과 $\Lambda$가 $\mathcal{O}_K$의 아이디얼과 닮음이라는 사실은 서로 필요충분조건이다.
+$\operatorname{End}(E_{\Lambda})\cong \mathcal{O}_K$과 $\Lambda$가 $\mathcal{O}_K$의 아이디얼과 닮음이라는 사실은 서로 동치이다.
 ;증명
 (=>)
@@ 104번째 줄: / 104번째 줄: @@
 (<=)
 역으로, $\Lambda=[\omega_1,\omega_2],\quad \omega_1,\omega_2\in \mathcal{O}_K$가 $\mathcal{O}_K$의 아이디얼인 경우, $\operatorname{End}(E_{\Lambda})\supseteq \mathcal{O}_K$. 이 때, $\omega_2/\omega_1\in K$이므로, 만약 $\alpha\in \operatorname{End}(E_{\Lambda})=\operatorname{End}(E_{\omega_2/\omega_1})$이면, $\alpha \in K$이고, 이는 대수적 정수가 되어야 한다. 따라서 $\operatorname{End}(E_{\Lambda})= \mathcal{O}_K$. ■
 ==$j$-불변량==
 * $E:y^2=4x^3-g_2x-g_3$

@@ 67번째 줄: / 67번째 줄: @@
 * <math>\alpha\cdot \tau \in\Lambda</math>이므로 적당한 정수 <math>p, q</math>에 대하여, <math>\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau</math>
 * 그러므로
-:<math>n\tau^2-(m-q)\tau-p=0,\quad n \neq 0</math>
+:<math>n\tau^2+(m-q)\tau-p=0,\quad n \neq 0</math>
 * 따라서, <math>E</math>가 복소곱을 가지면, <math>\tau</math>는 정수계수를 갖는 이차방정식을 만족해야 한다. 따라서 $\tau$는 허의 이차수 (imaginary quadratic)가 되어야 한다

@@ 207번째 줄: / 207번째 줄: @@
   -1 & 1 & -e^{\sqrt{163}\pi} \\
 & 744 & 744 \\
-& 196884 & 0.00000000000074992740280181462296 \\
+& 196884 & -0.00000000000074992740280181462296 \\
 & 21493760 & 0.00000000000000000000000000031183868722222764038 \\
-& 864299970 & 0.000000000000000000000000000000000000000000047762922822945522912
+& 864299970 & -0.000000000000000000000000000000000000000000047762922822945522912
 \end{array}
 ==매스매티카 파일 및 계산리소스==

@@ 117번째 줄: / 117번째 줄: @@
 &=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n \\
 \end{align}
-</math> 여기서
+</math> 여기서 $q=e^{2\pi i\tau}$이고, $\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3$
 * circle method에 의해 다음을 얻을 수 있다 ($j(\tau)$의 모듈라 성질이 여기에 중요한 역할을 한다)
 $$

@@ 34번째 줄: / 34번째 줄: @@
 ==타원곡선과 격자==
 * $\mathbb{C}$ 위의 타원곡선은 어떤 격자 $\Lambda$에 대하여 $\mathbb{C}/\Lambda$의 꼴로 주어진다
-* $E:y^2=4x^3-g_2x-g_3$ ($g_2^3-27g_3^2\neq 0$을 만족), $O_{E}=(\infty^2,\infty^3)$
+* $E:y^2=4x^3-g_2x-g_3$, $g_2^3-27g_3^2\neq 0$에서 $\mathbb{C}/\Lambda$을 얻으려면 [[아벨-야코비 정리]]
-* $\phi : E_1\to E_2$
+* $\Lambda$에서 $E$을 얻으려면 [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]을 사용
 $$
 \wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Lambda,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right)
@@ 56번째 줄: / 48번째 줄: @@
 ==복소곱(complex multiplication)==
 * $\Lambda=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$, $\Im\tau >0$라 하자.
 * 타원곡선 <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>

@@ 215번째 줄: / 215번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUGd5SGt0bUJwTEU/edit
 [[분류:정수론]]
 [[분류:에세이]]

@@ 123번째 줄: / 123번째 줄: @@
 c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right)
 $$
 ==$E$와 $j(E)$에 대한 갈루아 작용==
@@ 148번째 줄: / 165번째 줄: @@
 x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375
 $$
 ==거의 정수==
@@ 170번째 줄: / 202번째 줄: @@
 e^{\sqrt{163}\pi}= 262537412640768000+744+\text{very small number}=262537412640768743.99999999999925007\cdots
 $$
 [[분류:정수론]]
 [[분류:에세이]]

@@ 124번째 줄: / 124번째 줄: @@
 $$
-==$E$ and $j(E)$에 대한 갈루아 작용==
+==$E$와 $j(E)$에 대한 갈루아 작용==
 * $E:y^2=4x^3-g_2x-g_3$
 * $\sigma\in \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$에 대하여, $E^{\sigma} :y^2=4x^3-\sigma(g_2)x-\sigma(g_3)$라 정의하자.