분자동역학(molecular dynamics)에 분할 알고리즘 적용하기 - 편집 역사

2020년 12월 28일 (월) 11:57에 Pythagoras0님의 편집

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2010년 5월 19일 (수) 20:19에 님의 편집

2010-05-19T20:19:08Z

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-D.P. 란다우 그룹에서 나온 논문 하나를 훑어봤습니다. 제목은 [http://dx.doi.org/10.1119/1.1900096 "Molecular and spin dynamics simulations using modern integration methods(현대 적분 방법을 이용한 분자와 스핀동역학 시늉내기)"]이고, <아메리칸 저널 오브 피직스>에 2005년에 실렸습니다. 내용 중 일부를 소개합니다.
+D.P. 란다우 그룹에서 나온 논문 하나를 훑어봤습니다. 제목은 [http://dx.doi.org/10.1119/1.1900096 "Molecular and spin dynamics simulations using modern integration methods(현대 적분 방법을 이용한 분자와 스핀동역학 시늉내기)"]이고, <아메리칸 저널 오브 피직스>에 2005년에 실렸습니다. 내용 중 일부를 소개합니다.
 질량이 각각 m<sub>i</sub>인 N개의 입자를 생각합시다. 이들의 위치와 속도는 r<sub>i</sub>, v<sub>i</sub>이고 두 입자 사이의 거리의 함수인 포텐셜 u(r<sub>ij</sub>)로 상호작용합니다. 해밀토니안은 다음처럼 씁니다.
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 <math>m_i\frac{d^2r_i}{dt^2}=\sum_{j\neq i}f_{ij}\equiv f_i</math>
-모든 입자의 위치와 속도의 집합을 배열(configuration) y(t)={r<sub>i</sub>, v<sub>i</sub>}라고 하면, 운동방정식은 뿌아송 괄호(Poisson bracket)를 이용해 다음처럼 간단히 씌어집니다.
+모든 입자의 위치와 속도의 집합을 배열(configuration) y(t)={r<sub>i</sub>, v<sub>i</sub>}라고 하면, 운동방정식은 뿌아송 괄호(Poisson bracket)를 이용해 다음처럼 간단히 씌어집니다.
 <math>\frac{dy(t)}{dt}=[y(t),H]\equiv \sum_i\frac{1}{m_i}\left(\frac{\partial y(t)}{\partial r_i} \frac{\partial H}{\partial v_i} - \frac{\partial y(t)}{\partial v_i} \frac{\partial H}{\partial r_i} \right)</math>

← 이전 판		2012년 12월 23일 (일) 13:35 판
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	결론을 말하면, 상태공간 부피 보존과 시간대칭은 특히 해밀토니안 시스템에서 중요한 특성인데 컴퓨터로 시늉내기를 할 때에도 이러한 특성들이 잘 지켜지도록 하기에 분할 알고리즘이 적절하다고 합니다.		결론을 말하면, 상태공간 부피 보존과 시간대칭은 특히 해밀토니안 시스템에서 중요한 특성인데 컴퓨터로 시늉내기를 할 때에도 이러한 특성들이 잘 지켜지도록 하기에 분할 알고리즘이 적절하다고 합니다.
		+	[[분류:통계물리]]

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-D.P. 란다우 그룹에서 나온 논문 하나를 훑어봤습니다. 제목은 "Molecular and spin dynamics simulations using modern integration methods(현대 적분 방법을 이용한 분자와 스핀동역학 시늉내기)"이고, <아메리칸 저널 오브 피직스>에 2005년에 실렸습니다. 내용 중 일부를 소개합니다.
+D.P. 란다우 그룹에서 나온 논문 하나를 훑어봤습니다. 제목은 [http://dx.doi.org/10.1119/1.1900096 "Molecular and spin dynamics simulations using modern integration methods(현대 적분 방법을 이용한 분자와 스핀동역학 시늉내기)"]이고, <아메리칸 저널 오브 피직스>에 2005년에 실렸습니다. 내용 중 일부를 소개합니다.
 질량이 각각 m<sub>i</sub>인 N개의 입자를 생각합시다. 이들의 위치와 속도는 r<sub>i</sub>, v<sub>i</sub>이고 두 입자 사이의 거리의 함수인 포텐셜 u(r<sub>ij</sub>)로 상호작용합니다. 해밀토니안은 다음처럼 씁니다.
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 다음으로 시간대칭이 성립하는 걸 보이겠습니다.
-<math>U(\tau)\equiv e^{B\tau/2}e^{A\tau}e^{B\tau/2}</math>
+<math>U(\tau)\equiv e^{B\tau/2}e^{A\tau}e^{B\tau/2},\ U(\tau)U(-\tau)=1</math>

← 이전 판		2010년 5월 19일 (수) 20:35 판
55번째 줄:		55번째 줄:
	야코비안을 구합니다.		야코비안을 구합니다.

−	<math>J=\left\|\begin{array}{cc} \frac{\partial r_i(t+\tau)}{\partial r_i(t)} & \frac{\partial r_i(t+\tau)}{\partial v_i(t)} \\ \frac{\partial v_i(t+\tau)}{\partial r_i(t)} & \frac{\partial v_i(t+\tau)}{\partial v_i(t)} \end{array}\right\|=1</math>	+	<math>J_i = \left\|\begin{array}{cc} \frac{\partial r_i(t+\tau)}{\partial r_i(t)} & \frac{\partial r_i(t+\tau)}{\partial v_i(t)} \\ \frac{\partial v_i(t+\tau)}{\partial r_i(t)} & \frac{\partial v_i(t+\tau)}{\partial v_i(t)} \end{array}\right\|=1</math>
		+
		+	속도가 위치와 무관하게 그대로 있었기 때문에 야코비안은 1이 되었고, 이는 곧 리우빌 연산자에 의해 상태공간의 부피가 변하지 않았음을 뜻합니다. L<sub>2</sub>에 대해서도 마찬가지로 야코비안은 1이 됩니다.
		+
		+	다음으로 시간대칭이 성립하는 걸 보이겠습니다.
		+
		+	<math>U(\tau)\equiv e^{B\tau/2}e^{A\tau}e^{B\tau/2}</math>

← 이전 판		2010년 5월 19일 (수) 20:29 판
51번째 줄:		51번째 줄:
	L<sub>1</sub>만으로 이루어진 연산자는 속도는 그대로 놔두고 이 속도에 의존하여 위치만 바꿉니다. 이것만 그냥 다시 써보겠습니다.		L<sub>1</sub>만으로 이루어진 연산자는 속도는 그대로 놔두고 이 속도에 의존하여 위치만 바꿉니다. 이것만 그냥 다시 써보겠습니다.

−	<math>e^{\hat ~~L_2~~\tau/2}y=\exp\left(~~\frac{~~\tau~~}{2}~~ \sum_j ~~\frac{f_j}{m_j}~~\frac{\partial}{\partial ~~v_j~~}\right)\{r_i(t),v_i(t)\}= \left\{r_i(t),v_i(t)+\frac{~~f_i~~(t)}{~~m_i~~}\frac{\tau}{2}\~~right~~\}</math>	+	<math>e^{\hat L_1\tau}y &=& \exp\left(\tau\sum_j v_j\frac{\partial}{\partial r_j}\right)\{r_i(t),v_i(t)\} \\ &=& \left\{r_i(t)+v_i(t)\tau,v_i(t)\right\} \equiv \{r_i(t+\tau),v_i(t+\tau)\}</math>
		+
		+	야코비안을 구합니다.
		+
		+	<math>J=\left\|\begin{array}{cc} \frac{\partial r_i(t+\tau)}{\partial r_i(t)} & \frac{\partial r_i(t+\tau)}{\partial v_i(t)} \\ \frac{\partial v_i(t+\tau)}{\partial r_i(t)} & \frac{\partial v_i(t+\tau)}{\partial v_i(t)} \end{array}\right\|=1</math>

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(차이 없음)

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(차이 없음)

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(차이 없음)

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 <math>y(t+\tau)=e^{\hat L\tau}y(t)</math>
-L을 지수 위로 올리니 L 위의 모자(hat)가 보기에 좋지 않네요;;; 여튼 수치적으로 푸는 여러 방법 중에 분할 알고리즘(decomposition algorithm)을 소개합니다. 지수 연산자를 분할한다는 말인데요, 다음처럼 1차 또는 2차까지 분할할 수 있습니다.
+L을 지수 위로 올리니 L 위의 모자(hat)가 보기에 좋지 않네요;;; 여튼 이 문제를 수치적으로 푸는 여러 방법 중에 분할 알고리즘(decomposition algorithm)을 소개합니다. 위와 같은 지수 연산자를 분할한다는 말인데요, 다음처럼 1차 또는 2차까지 분할할 수 있습니다.
 <math>e^{(A+B)\tau}=e^{A\tau}e^{B\tau}+\mathcal{O}(\tau^2),\ e^{(A+B)\tau}=e^{B\tau/2}e^{A\tau}e^{B\tau/2}+\mathcal{O}(\tau^3)</math>
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 <math>r_i(t+\tau)&=&r_i(t)+v_i(t)\tau+\frac{f_i(t)}{m_i}\frac{\tau^2}{2},\\ v_i(t+\tau)&=&v_i(t)+\frac{f_i(t)}{m_i}\frac{\tau}{2}+\frac{f_i(t+\tau)}{m_i}\frac{\tau}{2}</math>
-다음으로 스핀동역학 시늉내기는 하이젠베르크 모형을 이용합니다.
+L<sub>1</sub>만으로 이루어진 연산자는 속도는 그대로 놔두고 이 속도에 의존하여 위치만 바꿉니다. 이것만 그냥 다시 써보겠습니다.
-<math>H=-J\sum_{\langle ij\rangle}S_i\cdot S_j=\sum_i S_i\cdot H_{{\rm eff},i}</math>
+<math>e^{\hat L_2\tau/2}y=\exp\left(\frac{\tau}{2} \sum_j \frac{f_j}{m_j}\frac{\partial}{\partial v_j}\right)\{r_i(t),v_i(t)\}= \left\{r_i(t),v_i(t)+\frac{f_i(t)}{m_i}\frac{\tau}{2}\right\}</math>

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(차이 없음)