분할수의 생성함수(오일러 함수) - 편집 역사

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2020-11-12T10:08:35Z

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차이 보기

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2013-03-17T22:03:32Z

2013년 3월 11일 (월) 22:10에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-11T22:10:22Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T23:44:30Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

2013-01-12T17:46:33Z

찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

Pythagoras0: /* q-초기하급수 형태로의 표현 */

2012-11-03T00:16:54Z

q-초기하급수 형태로의 표현

Pythagoras0: /* 개요 */

2012-11-03T00:15:20Z

개요

Pythagoras0: /* q-초기하급수 형태로의 표현 */

2012-11-03T00:14:18Z

q-초기하급수 형태로의 표현

Pythagoras0: /* q가 1에 가까울 때의 근사공식 */

2012-11-03T00:13:58Z

q가 1에 가까울 때의 근사공식

@@ 2번째 줄: / 2번째 줄: @@
 * 분할수의 [[생성함수]]를 오일러함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다
-$$F(q):=\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n$$ 여기서 $p(n)$ 은 $n$의 분할수
+:<math>F(q):=\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n</math> 여기서 <math>p(n)</math> 은 <math>n</math>의 분할수
 * 다음과 같이 무한곱으로 표현가능하다
 :<math>F(q) = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math>
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 * [[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]]
-$$\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2} \label{penta}$$
+:<math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2} \label{penta}</math>
-* 급수로 표현하면 다음과 같다 $$(1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots$$
+* 급수로 표현하면 다음과 같다 :<math>(1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots</math>
 * \ref{penta}는 오일러함수의 역수이며 (거의) [[데데킨트 에타함수]] 이다
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 :<math>F(q)\sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})</math> ■
-* <math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, 모든 $N$에 대하여 다음이 성립한다
+* <math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, 모든 <math>N</math>에 대하여 다음이 성립한다
 :<math>\log F(q) \sim \frac{\pi^2}{6\epsilon}-\frac{1}{2}\log(\frac{2\pi}{\epsilon})-\frac{\epsilon}{24}+O(\epsilon^N)</math>
 이는 [[데데킨트 에타함수]]의 모듈라 성질로부터 얻을 수 있다
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 (정리) ([[Durfee 사각형 항등식(Durfee rectangle identity)|Durfee square identity]])
-$$
+:<math>
 F(q)= 1+\sum_{n=1}\frac{q^{n^2}}{(1-q)^2(1-q^2)^2\cdots(1-q^n)^2}
-$$
+</math>

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198번째 줄:		198번째 줄:
	==블로그==		==블로그==
	[[분류:q-급수]]		[[분류:q-급수]]
		+	[[분류:분할수]]

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197번째 줄:		197번째 줄:

	==블로그==		==블로그==
		+	[[분류:q-급수]]

@@ 130번째 줄: / 130번째 줄: @@
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
+*

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66번째 줄:		66번째 줄:
	==분할수의 근사공식==		==분할수의 근사공식==

−	* [[분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)\|하디-라마누잔-라데마커 분할수 공식]]~~<br>~~<math>p(n) \approx \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math><br>	+	* [[분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)\|하디-라마누잔-라데마커 분할수 공식]]:<math>p(n) \approx \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}</math><br>

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	==q-초기하급수 형태로의 표현==		==q-초기하급수 형태로의 표현==

−	* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series) (~~통합됨~~)\|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 항목을 참조<br>	+	* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)\|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 항목을 참조<br>

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 ==개요==
-* 분할수의 생섬함수를 오일러함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다 $$\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n$$ 여기서 $p(n)$ 은 $n$의 분할수
+* 분할수의 [[생성함수]]를 오일러함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다 $$\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n$$ 여기서 $p(n)$ 은 $n$의 분할수
-* 분할수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 무한곱으로 표현가능하다 :<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math>
+* 다음과 같이 무한곱으로 표현가능하다 :<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math>
 * 급수 전개 :<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots</math>

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82번째 줄:		82번째 줄:
	(정리)		(정리)

−	<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} ~~\right~~ = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>	+	<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n}= \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>

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 (증명)
-<math>\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} \right =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}</math>
+<math>\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}</math>
 <math>1-q^m=(1-q)(1+q+\cdots+q^{m-1})</math>  와 <math>0<q<1</math> 을 이용하면,

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Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “” 문자열을 “:” 문자열로

Pythagoras0: /* q-초기하급수 형태로의 표현 */

Pythagoras0: /* 개요 */

Pythagoras0: /* q-초기하급수 형태로의 표현 */

Pythagoras0: /* q가 1에 가까울 때의 근사공식 */

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$