수열의 오일러 변환 - 편집 역사

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2014-11-20T02:31:40Z

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2013-08-05T13:21:20Z

Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 두 수열 $\{a_1,a_2,\cdots \}$, $\{b_1,b_2,\cdots \}$ 사이에 다음이 성립할 때, 둘이 오일러 변환 관계에 있다고 함 $$ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n ...

2013-05-17T11:58:07Z

새 문서: ==개요== * 두 수열 $\{a_1,a_2,\cdots \}$, $\{b_1,b_2,\cdots \}$ 사이에 다음이 성립할 때, 둘이 오일러 변환 관계에 있다고 함 $$ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n ...

새 문서

==개요==
* 두 수열 $\{a_1,a_2,\cdots \}$, $\{b_1,b_2,\cdots \}$ 사이에 다음이 성립할 때, 둘이 오일러 변환 관계에 있다고 함
$$
1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1-x^i)^{a_i}}\,
$$
* 생성함수 사이에 다음의 관계가 성립한다
$$
1 + B(x) = \exp\bigg[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{A(x^k)}{k}\bigg]\,
$$
* 주어진 급수의 무한곱 표현을 찾는데 유용함

==예==
* [[로저스-라마누잔 항등식]]
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots
$$
에서 $a_n$은 $1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0,\cdots$로 주어지는 주기가 5인 수열

* [[분할수가 만족시키는 합동식]]
$$\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5;q^5)_\infty^5}{(q;q)_\infty^6}=5+30 q+135 q^2+490 q^3+1575 q^4+4565 q^5+\cdots$$
에서
$b_n=p(5n+4)/5$로 두면, $a_n$은 $6, 6, 6, 6, 1, 6, 6, 6, 6, 1,\cdots$로 주어지는 주기가 5인 수열

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbVBnbmJEcHFlNW8/edit

==사전 형태의 자료==
* http://oeis.org/wiki/Euler_transform

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 ==개요==
-* 두 수열 $\{a_1,a_2,\cdots \}$, $\{b_1,b_2,\cdots \}$ 사이에 다음이 성립할 때, 둘이 오일러 변환 관계에 있다고 함
+* 두 수열 <math>\{a_1,a_2,\cdots \}</math>, <math>\{b_1,b_2,\cdots \}</math> 사이에 다음이 성립할 때, 둘이 오일러 변환 관계에 있다고 함
-$$
+:<math>
 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1-x^i)^{a_i}}\,
-$$
+</math>
 * 생성함수 사이에 다음의 관계가 성립한다
-$$
+:<math>
 + B(x) = \exp\bigg[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{A(x^k)}{k}\bigg]\,
-$$
+</math>
 * 주어진 급수의 무한곱 표현을 찾는데 유용함
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 ==예==
 * [[로저스-라마누잔 항등식]]
-$$
+:<math>
 \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots
-$$
+</math>
-에서 $a_n$은 $1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0,\cdots$로 주어지는 주기가 5인 수열
+에서 <math>a_n</math>은 <math>1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0,\cdots</math>로 주어지는 주기가 5인 수열
 * 가우스의 항등식
-$$
+:<math>
 \sum_{m \geq 0}(-1)^m(2m+1)q^{m(m+1)/2}=(q;q)^3
-$$
+</math>
-에서 $a_n$은 $-3,-3,-3,\cdots$로 주어지는 상수열
+에서 <math>a_n</math>은 <math>-3,-3,-3,\cdots</math>로 주어지는 상수열
 * [[분할수가 만족시키는 합동식]]
-$$\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5;q^5)_\infty^5}{(q;q)_\infty^6}=5+30 q+135 q^2+490 q^3+1575 q^4+4565 q^5+\cdots$$
+:<math>\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5;q^5)_\infty^5}{(q;q)_\infty^6}=5+30 q+135 q^2+490 q^3+1575 q^4+4565 q^5+\cdots</math>
 에서
-$b_n=p(5n+4)/5$로 두면, $a_n$은 $6, 6, 6, 6, 1, 6, 6, 6, 6, 1,\cdots$로 주어지는 주기가 5인 수열
+<math>b_n=p(5n+4)/5</math>로 두면, <math>a_n</math>은 <math>6, 6, 6, 6, 1, 6, 6, 6, 6, 1,\cdots</math>로 주어지는 주기가 5인 수열

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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbVBnbmJEcHFlNW8/edit
 ==사전 형태의 자료==
 * http://oeis.org/wiki/Euler_transform