숫자 23과 다항식 x³-x+1 - 편집 역사

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@@ 9번째 줄: / 9번째 줄: @@
-==다항식 $x^3-x+1$==
+==다항식 <math>x^3-x+1</math>==
-* [[다항식의 판별식(discriminant)]]은 $-4 a^3-27 b^2=-4(-1)^3-27=-23$
+* [[다항식의 판별식(discriminant)]]은 <math>-4 a^3-27 b^2=-4(-1)^3-27=-23</math>
 * 다음과 같은 복소해를 가진다
-$$
+:<math>
 \{-1.32472,0.662359\, -0.56228 i,0.662359\, +0.56228 i\}
-$$
+</math>
 * 그래프
 [[파일:숫자 23과 다항식 x^3-x+11.png]]
@@ 32번째 줄: / 32번째 줄: @@
 여기서 <math>\eta(\tau)</math> 는 [[데데킨트 에타함수]]
 :<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}), \quad q=e^{2\pi i\tau}</math>
-* 소수 $p$에 대하여, $c_p=-1+\#\{x\in \mathbb{F}_p|x^3-x+1=0\}$라 두면, 다음이 성립한다
+* 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>c_p=-1+\#\{x\in \mathbb{F}_p|x^3-x+1=0\}</math>라 두면, 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 a_p=c_p
-$$
+</math>
-* $x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+23y^2=p$ 의 정수해가 존재
+* <math>x^3-x+1 \pmod p</math> 가 일차식으로 분해 <math>\iff</math> <math>x^2+23y^2=p</math> 의 정수해가 존재
 ===테이블===
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
   p & p \bmod 23 & x^3-x+1 \pmod p & x^2+23y^2 & x^2+x y+6y^2 & 2x^2-x y+3y^2 & 2x^2+x y+3y^2 \\
@@ 93번째 줄: / 93번째 줄: @@
 & 22 & (x+43) \left(x^2+186 x+16\right) & 0 & 0 & 0 & 0
 \end{array}
-$$
+</math>
 ==singular moduli==
 * 다음 세 다항식의
-$$
+:<math>
 x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3
-$$
+</math>
 의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자
-$$
+:<math>
-j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)$$
+j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)</math>
-여기서 $j$는 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]]
+여기서 <math>j</math>는 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]]
 * 이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다
-$$
+:<math>
 x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375
-$$
+</math>
 * [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]]

@@ 40번째 줄: / 40번째 줄: @@
 $$
 \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
-  p & p \bmod 23 & \text{decomposition} & x^2+23y^2 & x^2+x y+6y^2 & 2x^2-x y+3y^2 & 2x^2+x y+3y^2 \\
+  p & p \bmod 23 & x^3-x+1 \pmod p & x^2+23y^2 & x^2+x y+6y^2 & 2x^2-x y+3y^2 & 2x^2+x y+3y^2 \\
 \hline
 & 2 & x^3+x+1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

@@ 26번째 줄: / 26번째 줄: @@
 \begin{align}
 \eta(\tau)\eta(23\tau)&=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})(1-q^{23n})\\
-{}&=q-q^2-q^3+q^6+q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}-q^{24}+q^{25}+q^{26}+q^{27}-q^{29}-q^{31}+q^{39}-q^{41}+\cdots
+{}&=q-q^2-q^3+q^6+q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}-q^{24}+q^{25}+q^{26}+q^{27}-q^{29}-q^{31}+q^{39}-q^{41}+\cdots \\
 \end{align}
 </math>
 여기서 <math>\eta(\tau)</math> 는 [[데데킨트 에타함수]]
 :<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}), \quad q=e^{2\pi i\tau}</math>
 * $x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+23y^2=p$ 의 정수해가 존재
 ===테이블===
@@ 121번째 줄: / 126번째 줄: @@
 * https://oeis.org/A033217
 * https://oeis.org/A106869
+* https://oeis.org/A030199 G.f.: x * Product( (1 - x^k) * (1 - x^(23*k)), k=1..infinity).
 [[분류:정수론]]
 [[분류:에세이]]

@@ 31번째 줄: / 31번째 줄: @@
 여기서 <math>\eta(\tau)</math> 는 [[데데킨트 에타함수]]
 :<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}), \quad q=e^{2\pi i\tau}</math>
-* $x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+27y^2=p$ 의 정수해가 존재
+* $x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+23y^2=p$ 의 정수해가 존재
 ===테이블===
 $$

← 이전 판		2013년 8월 21일 (수) 16:25 판
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	* [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]]		* [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]]
	* [[베버(Weber) 모듈라 함수]]		* [[베버(Weber) 모듈라 함수]]
		+	* [[다항식 x³+x-1]]

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	* [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록]] 참조		* [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록]] 참조
	* class field <math>x^3-x+1</math>의 해 <math>\alpha</math>에 대하여, <math>H=K(\alpha)</math>로 정의		* class field <math>x^3-x+1</math>의 해 <math>\alpha</math>에 대하여, <math>H=K(\alpha)</math>로 정의
		+
		+
		+	==다항식 $x^3-x+1$==
		+	* 다음과 같은 복소해를 가진다
		+	$$
		+	\{-1.32472,0.662359\, -0.56228 i,0.662359\, +0.56228 i\}
		+	$$
		+	* 그래프
		+	[[파일:숫자 23과 다항식 x^3-x+11.png]]

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	==singular moduli==		==singular moduli==
		+	* 다음 세 다항식의
		+	$$
		+	x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3
		+	$$
		+	의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자
		+	$$
		+	j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)$$
		+	여기서 $j$는 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]]
		+	* 이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다
		+	$$
		+	x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375
		+	$$
	* [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]]		* [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]]
−

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 * 판별식이 <math>\Delta=b^2-4ac=-23</math>이 이차형식
 :<math>x^2+xy+6y^2, 2x^2-xy+3y^2, 2x^2+xy+3y^2</math>
-** <math>h(\Delta)=3</math> 이 되는 첫번째 예
+* <math>h(\Delta)=3</math> 이 되는 첫번째 예
-** [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록]] 참조
+* [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록]] 참조
 * class field <math>x^3-x+1</math>의 해 <math>\alpha</math>에 대하여, <math>H=K(\alpha)</math>로 정의
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 \end{array}
 $$
 ==singular moduli==
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