스미스-민코프스키-지겔 질량 공식 - 편집 역사

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Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-11-01T02:20:44Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2014-12-29T02:41:47Z

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2014-07-19T06:18:27Z

리뷰, 에세이, 강의노트

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 [[분류:정수론]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q217465 Q217465]

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	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
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		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q217465 Q217465]

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 ==개요==
-* 주어진 양의 정부호 이차형식 $q$에 대하여 방정식 $q(x)=n$의 해의 개수 $r(q,n)$를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
+* 주어진 양의 정부호 이차형식 <math>q</math>에 대하여 방정식 <math>q(x)=n</math>의 해의 개수 <math>r(q,n)</math>를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
-* 지겔의 질량 공식은 $q$와 같은 genus에 속하는 이차형식 $q'$들에 대한 $r(q',n)$값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한  local densities의 곱으로 표현함
+* 지겔의 질량 공식은 <math>q</math>와 같은 genus에 속하는 이차형식 <math>q'</math>들에 대한 <math>r(q',n)</math>값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한  local densities의 곱으로 표현함
 * local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.
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 ==스미스-민코프스키-지겔 질량 공식==
-* $n\geq 2$ 자연수
+* <math>n\geq 2</math> 자연수
-* $f$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
+* <math>f</math> : 양의 정부호인 <math>n</math> 차원 정수계수 이차형식
-* ${\rm gen}(f)$ : $f$와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
+* <math>{\rm gen}(f)</math> : <math>f</math>와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
-* $\rm{Aut}(\cdot)$ : 자기동형군
+* <math>\rm{Aut}(\cdot)</math> : 자기동형군
-* $f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의
+* <math>f</math>의 질량 <math>m(f)</math>를 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}
-$$
+</math>
 ;정리 (스미스-민코프스키-지겔)
 다음이 성립한다
 :<math>m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)</math>
-여기서 충분히 큰 $r$에 대하여,
+여기서 충분히 큰 <math>r</math>에 대하여,
 :<math>m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}</math>
-* $p^s$는 $f$의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
+* <math>p^s</math>는 <math>f</math>의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
-* $N(p^r)$은 다음을 만족하는 $\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}$위의 $n\times n$ 행렬의 개수
+* <math>N(p^r)</math>은 다음을 만족하는 <math>\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}</math>위의 <math>n\times n</math> 행렬의 개수
-$$X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r$$
+:<math>X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r</math>
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 </math>
-여기서 $B_k$는 [[베르누이 수]]
+여기서 <math>B_k</math>는 [[베르누이 수]]
 ===8차원===
 * 8차원 even unimodular 격자는 [[E8]]격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \frac{1}{696729600}
-$$
+</math>
-* 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다
+* 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 <math>W(E_8)</math>의 크기이기도 하다
 ===16차원===
 * 16차원에서 \ref{evenu}의 좌변과 우변은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000}
-$$
+</math>
 ===24차원===
 * \ref{evenu}의 값은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000}
-$$
+</math>
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 * [[지겔-베유 공식]]은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
 * 같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
-* rank가 $n$인 격자 $L$과 정수 $g\leq n$를 고정
+* rank가 <math>n</math>인 격자 <math>L</math>과 정수 <math>g\leq n</math>를 고정
-* 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 $\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$ 정의된 함수로
+* 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 <math>\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}</math> 정의된 함수로
-$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr}
+:<math>\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr}
-     ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$
+     ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.</math>
-* ${\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 [[지겔 모듈라 형식]]
+* <math>{\rm Sp}(g,\Z)</math>의 합동부분군 <math>\Gamma</math>에 대해 weight이 <math>n/2</math>인 [[지겔 모듈라 형식]]
 ;정리
-$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
+:<math>\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
 \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=
-E^{(g)}(Z),$$
+E^{(g)}(Z),</math>
-여기서 $E^{(g)}(Z)$는 $\Gamma$에 대한 아이젠슈타인 급수이며 $L$의 genus에만 의존
+여기서 <math>E^{(g)}(Z)</math>는 <math>\Gamma</math>에 대한 아이젠슈타인 급수이며 <math>L</math>의 genus에만 의존
 * [[지겔-베유 공식]] 항목 참조

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 ==관련논문==
 * Cho, Sungmun. ‘Group Schemes and Local Densities of Quadratic Lattices in Residue Characteristic 2’. Compositio Mathematica, 5 December 2014, 1–35. doi:10.1112/S0010437X14007829.
 * Eskin, Alex, Zeév Rudnick, and Peter Sarnak. "A proof of Siegel's weight formula." International Mathematics Research Notices 1991.5 (1991): 65-69. http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/siegelmass.pdf

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 ==관련논문==
 * Eskin, Alex, Zeév Rudnick, and Peter Sarnak. "A proof of Siegel's weight formula." International Mathematics Research Notices 1991.5 (1991): 65-69. http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/siegelmass.pdf
 * Conway, J. H., and N. J. A. Sloane. “Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula.” Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 419, no. 1857 (October 8, 1988): 259–86. doi:10.1098/rspa.1988.0107.

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 * [http://www.math.ubc.ca/~cass/siegel/INDEX.html Integral quadratic forms and volume formulas], UBC graduate seminar, winter 2011
 * Jonathan Hanke, [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/09HankeNotes.pdf Quadratic Forms and Automorphic Forms]
 * Shimura, Goro. 2006. “Quadratic Diophantine Equations, the Class Number, and the Mass Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 43 (3): 285–304. doi:10.1090/S0273-0979-06-01107-4.
 * Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
 * [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/siegel_integral.pdf Siegel's integral]
 * Kimball Martin, [http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/ lecture notes for number theory]
 ** [http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/chap7.pdf chapter 7. Quadratic Forms]
 * Finch, [http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/ms.pdf Minkowski-Siegel Mass Constants]
 ==관련논문==

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	* http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel–Weil_formula		* http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel–Weil_formula
	* http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjecture_on_Tamagawa_numbers		* http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjecture_on_Tamagawa_numbers
−
−
−	~~==질문과 답변==~~
−	* http://mathoverflow.net/questions/163357/eisenstein-part-of-the-theta-function
−	* http://mathoverflow.net/questions/60355/relation-between-theta-series-and-eisensteinseries
−	* http://mathoverflow.net/questions/111519/why-might-andr%C3%A9-weil-have-named-carl-ludwig-siegel-the-greatest-mathematician-of