여러겹 쪽거리(multifractal)와 f-α 표현 - 편집 역사

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 <math>p\sim l^\alpha,\ N\sim l^{-f(\alpha)}</math>
-단순한 눈금잡기가 적용되는 시스템이라면 α나 f(α)는 하나의 값만을 가지겠지만, 좀더 복잡한 시스템이라면 α나 f(α)가 여러 값을 갖거나 연속적인 값을 가질 수도 있습니다. 전자의 경우를 그냥 쪽거리(fractal)라 한다면, 후자는 여러겹 쪽거리라 할 수 있습니다. 여기서 α는 특이성(singularity)에 관한 지수라고 하고(걍 특이성 지수라고 부르겠습니다), f(α)는 밀도 지수(density exponent)라 부릅니다.
+단순한 눈금잡기가 적용되는 시스템이라면 α나 f(α)는 하나의 값만을 가지겠지만, 좀더 복잡한 시스템이라면 α나 f(α)가 여러 값을 갖거나 연속적인 값을 가질 수도 있습니다. 전자의 경우를 그냥 쪽거리(fractal)라 한다면, 후자는 여러겹 쪽거리라 할 수 있습니다. 여기서 α는 특이성(singularity)에 관한 지수라고 하고(걍 특이성 지수라고 부르겠습니다), f(α)는 밀도 지수(density exponent)라 부릅니다.
 이제 아래와 같은 양을 생각해보겠습니다.
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 <math>\Gamma(q,\tau,l)=\sum_i\frac{p_i^q}{l_i^\tau},\ l_i<l</math>
-여기서도 i는 각 조각에 매겨진 번호이고 l<sub>i</sub>와 p<sub>i</sub>는 그 조각의 크기와 방문 확률입니다. χ로부터 D<sub>q</sub>를 구할 때에는 p가 같은 조각들은 모두 같은 크기를 갖는다고 가정했으나 여기서는 크기가 서로 다른 일반적인 경우를 다룹니다. 암턴;;; 이 식을 위의 방법대로 다시 쓰면,
+여기서도 i는 각 조각에 매겨진 번호이고 l<sub>i</sub>와 p<sub>i</sub>는 그 조각의 크기와 방문 확률입니다. χ로부터 D<sub>q</sub>를 구할 때에는 p가 같은 조각들은 모두 같은 크기를 갖는다고 가정했으나 여기서는 크기가 서로 다른 일반적인 경우를 다룹니다. 암턴;;; 이 식을 위의 방법대로 다시 쓰면,
 <math>\Gamma(q,\tau,l)=\sum_p N(p)\frac{p^q}{l^\tau}\sim l^{-f(\alpha)+q\alpha-\tau}</math>
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 <math>l_1+l_2<1,\ l_1<l_2,\ p_1+p_2=1</math>
-남은 각 선분을 역시 같은 방법으로 자릅니다. 그러면 길이가 l<sub>1</sub>의 제곱인 선분 1개, l<sub>1</sub>l<sub>2</sub>인 선분 2개, l<sub>2</sub>의 제곱인 선분 1개가 생깁니다. 이런 식으로 n번 쪼개고 나면 2<sup>n</sup>개의 조각들이 생길 겁니다. 그러면 위의 분배함수는 아래처럼 쓸 수 있습니다.
+남은 각 선분을 역시 같은 방법으로 자릅니다. 그러면 길이가 l<sub>1</sub>의 제곱인 선분 1개, l<sub>1</sub>l<sub>2</sub>인 선분 2개, l<sub>2</sub>의 제곱인 선분 1개가 생깁니다. 이런 식으로 n번 쪼개고 나면 2<sup>n</sup>개의 조각들이 생길 겁니다. 그러면 위의 분배함수는 아래처럼 쓸 수 있습니다.
 <math>\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\frac{p_1^q}{l_1^\tau}+\frac{p_2^q}{l_2^\tau}\right]^n=\sum_m{n\choose m}\frac{p_1^{mq}p_2^{(n-m)q}}{(l_1^ml_2^{n-m})^\tau}</math>
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 역시 주어진 q에 대해 n/m이 얻어졌다면 이로부터 위의 지수들도 얻을 수 있습니다. 또한 이 식들을 정리하면 앞에서 얻은 관계식 τ = qα - f(α)가 나온다고 하네요.
-이제 차원 D<sub>q</sub>가 어떤 모양이 되는지 보겠습니다. q가 유한하다면 그냥 앞에서 말한대로 풀어버리면 됩니다. 특히 q가 0인 경우에 D<sub>0</sub>은 f와 같습니다. q가 양의 무한대이거나 음의 무한대라면 조금 다르게 생각해야 합니다. 분배함수를 다시 쓰겠습니다:
+이제 차원 D<sub>q</sub>가 어떤 모양이 되는지 보겠습니다. q가 유한하다면 그냥 앞에서 말한대로 풀어버리면 됩니다. 특히 q가 0인 경우에 D<sub>0</sub>은 f와 같습니다. q가 양의 무한대이거나 음의 무한대라면 조금 다르게 생각해야 합니다. 분배함수를 다시 쓰겠습니다:
 <math>\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\left(\frac{p_1}{l_1^{D_q}}\right)^q l_1^{D_q}+\left(\frac{p_2}{l_2^{D_q}}\right)^q l_2^{D_q}\right]^n</math>

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	논문에 있는 내용과 제 해석(?)이 뒤섞여 있으므로 모호한 부분이 있다면 제가 제대로 이해하지 못했기 때문일 것입니다. 사실 이렇게 수식만 나열해서는 '여러겹 쪽거리'가 뭔지 모를 것 같네요. 일단 이 글은 마치겠습니다.		논문에 있는 내용과 제 해석(?)이 뒤섞여 있으므로 모호한 부분이 있다면 제가 제대로 이해하지 못했기 때문일 것입니다. 사실 이렇게 수식만 나열해서는 '여러겹 쪽거리'가 뭔지 모를 것 같네요. 일단 이 글은 마치겠습니다.
		+	[[분류:통계물리]]

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-오늘 소개할 논문은 여러겹 쪽거리(multifractal)에 관한 건데요, 카다노프(Leo Kadanoff)가 공동저자로 참여했고 1저자는 T. Halsey(핼시?)입니다. [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.33.1141 1986년에 <피지컬 리뷰 에이(PRA)>에 실린 논문]인데 아는 분이 알려주셔서 읽어보았습니다. 또한 [http://www.nature.com/nature/journal/v335/n6189/abs/335405a0.html 1988년에 <네이처>에 실린 스탠리(H.E. Stanley)의 짧은 리뷰 논문]도 참고했습니다.
+오늘 소개할 논문은 여러겹 쪽거리(multifractal)에 관한 건데요, 카다노프(Leo Kadanoff)가 공동저자로 참여했고 1저자는 T. Halsey(핼시?)입니다. [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.33.1141 1986년에 <피지컬 리뷰 에이(PRA)>에 실린 논문]인데 아는 분이 알려주셔서 읽어보았습니다. 제목은 "Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets"입니다. 또한 [http://www.nature.com/nature/journal/v335/n6189/abs/335405a0.html 1988년에 <네이처>에 실린 스탠리(H.E. Stanley)의 짧은 리뷰 논문]도 참고했습니다.
 어떤 대상을 잘게 조각낸다고 합시다. 각 조각을 그것의 크기와 이외의 다른 성질, 이를테면 마구걷개가 이 조각을 방문할 확률 같은 걸로 기술한다고 합시다. 길이가 l 정도 되는 조각을 방문할 확률 p와 그런 조각들의 개수(또는 이를 전체 조각의 개수로 나눈 밀도)를 N이라고 합시다.
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 다음으로 α와 f(α)는 이 글의 맨 처음에 정의한 방식으로부터 그대로 계산됩니다.
-<math>N={n\choose m}=(l_1^ml_2^{n-m})^{-f},\ f=\frac{(n/m-1)\ln(n/m-1)-(n/m)\ln(n/m)}{\ln l_1+(n/m-1)\ln l_2}</math>
+<math>{n\choose m}=(l_1^ml_2^{n-m})^{-f},\ f=\frac{(n/m-1)\ln(n/m-1)-(n/m)\ln(n/m)}{\ln l_1+(n/m-1)\ln l_2}</math>
 <math>p_1^mp_2^{n-m}=(l_1^ml_2^{n-m})^{\alpha},\ \alpha=\frac{\ln p_1+(n/m-1)\ln p_2}{\ln l_1+(n/m-1)\ln l_2}</math>
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 <math>\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\left(\frac{p_1}{l_1^{D_q}}\right)^q l_1^{D_q}+\left(\frac{p_2}{l_2^{D_q}}\right)^q l_2^{D_q}\right]^n</math>
-q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, D에 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 무한대일 때 D가 ln p<sub>1</sub> / ln l<sub>1</sub>이면 큰 괄호 안의 첫째항은 살아남고 두번째 항은 0이 됩니다. 반대로 q가 음의 무한대이면 D가 ln p<sub>2</sub> / ln l<sub>2</sub>일 때 첫째항은 0이 되고 두번째 항만 유한한 값이 됩니다
+q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, D에 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 무한대일 때 D가 ln p<sub>1</sub> / ln l<sub>1</sub>이면 큰 괄호 안의 첫째항은 살아남고 두번째 항은 0이 됩니다. 반대로 q가 음의 무한대이면 D가 ln p<sub>2</sub> / ln l<sub>2</sub>일 때 첫째항은 0이 되고 두번째 항만 유한한 값이 됩니다. 정리하면,
-이는 각각 m=n인 경우와 m=0인 경우에 해당합니다. 두 경우 모두 f는 0이고 각 α는 각 D가 됩니다. 그런데 어느 경우에도 Γ는 1이 되지 않습니다. 사실 앞에서 Γ=1은 n이 매우 클 때 Γ가 유한해야 한다는 조건에서 나온 것인데, n이 유한하기만 하다면 Γ가 굳이 1이어야 할 필요는 없으므로 문제되지 않을 수도 있습니다.
+<math>D_{\infty}=\ln p_1/\ln l_1,\ D_{-\infty}=\ln p_2/\ln l_2</math>
-논문에 있는 내용과 제 해석(?)이 뒤섞여 있으므로 모호한 부분이 있다면 제가 제대로 이해하지 못했기 때문일 것입니다. 사실 이렇게 수식만 나열해서는 '여러겹 쪽거리'가 뭔지 이해되지는 않을 듯 합니다.
+입니다. 이는 각각 m=n인 경우와 m=0인 경우에 해당합니다. 두 경우 모두 f는 0이고 각 α는 각 D가 됩니다. 그런데 어느 경우에도 Γ는 1이 되지 않습니다. 사실 앞에서 Γ=1은 n이 매우 클 때 Γ가 유한해야 한다는 조건에서 나온 것인데, n이 유한하기만 하다면 Γ가 굳이 1이어야 할 필요는 없으므로 문제되지 않을 수도 있습니다.

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 <math>\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\left(\frac{p_1}{l_1^{D_q}}\right)^q l_1^{D_q}+\left(\frac{p_2}{l_2^{D_q}}\right)^q l_2^{D_q}\right]^n</math>
-q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, D에 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 무한대일 때 D가 ln p<sub>1</sub> / ln l<sub>1</sub>이면 큰 괄호 안의 첫째항은 살아남고 두번째 항은 0이 됩니다. 반대로 q가 음의 무한대이면 D가 ln p<sub>2</sub> / ln l<sub>2</sub>일 때 첫째항은 0이 되고 두번째 항만 유한한 값이 됩니다. 이는 각각 m=n인 경우와 m=0인 경우에 해당합니다. 두 경우 모두 f는 0이고 각 α는 각 D가 됩니다. 그런데 어느 경우에도 Γ는 1이 되지 않습니다.
+q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, D에 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 무한대일 때 D가 ln p<sub>1</sub> / ln l<sub>1</sub>이면 큰 괄호 안의 첫째항은 살아남고 두번째 항은 0이 됩니다. 반대로 q가 음의 무한대이면 D가 ln p<sub>2</sub> / ln l<sub>2</sub>일 때 첫째항은 0이 되고 두번째 항만 유한한 값이 됩니다
-사실 앞에서 Γ=1은 n이 매우 클 때 Γ가 유한해야 한다는 조건에서 나온 것인데, n이 매우 크지
+이는 각각 m=n인 경우와 m=0인 경우에 해당합니다. 두 경우 모두 f는 0이고 각 α는 각 D가 됩니다. 그런데 어느 경우에도 Γ는 1이 되지 않습니다. 사실 앞에서 Γ=1은 n이 매우 클 때 Γ가 유한해야 한다는 조건에서 나온 것인데, n이 유한하기만 하다면 Γ가 굳이 1이어야 할 필요는 없으므로 문제되지 않을 수도 있습니다.

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	<math>\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\left(\frac{p_1}{l_1^{D_q}}\right)^q l_1^{D_q}+\left(\frac{p_2}{l_2^{D_q}}\right)^q l_2^{D_q}\right]^n</math>		<math>\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\left(\frac{p_1}{l_1^{D_q}}\right)^q l_1^{D_q}+\left(\frac{p_2}{l_2^{D_q}}\right)^q l_2^{D_q}\right]^n</math>

−	q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, D에 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 무한대일 때 D가 ln p<sub>1</sub> / ln l<sub>1</sub>이면 큰 괄호 안의 첫째항은 살아남고 두번째 항은 0이 됩니다. 반대로 q가 음의 무한대이면 D가 ln p<sub>2</sub> / ln l<sub>2</sub>일 때 첫째항은 0이 되고 두번째 항만 유한한 값이 됩니다. 이는 각각 m=n인 경우와 m=0인 경우에 해당합니다.	+	q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, D에 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 무한대일 때 D가 ln p<sub>1</sub> / ln l<sub>1</sub>이면 큰 괄호 안의 첫째항은 살아남고 두번째 항은 0이 됩니다. 반대로 q가 음의 무한대이면 D가 ln p<sub>2</sub> / ln l<sub>2</sub>일 때 첫째항은 0이 되고 두번째 항만 유한한 값이 됩니다. 이는 각각 m=n인 경우와 m=0인 경우에 해당합니다. 두 경우 모두 f는 0이고 각 α는 각 D가 됩니다. 그런데 어느 경우에도 Γ는 1이 되지 않습니다.
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		+	사실 앞에서 Γ=1은 n이 매우 클 때 Γ가 유한해야 한다는 조건에서 나온 것인데, n이 매우 크지

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	<math>\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\left(\frac{p_1}{l_1^{D_q}}\right)^q l_1^{D_q}+\left(\frac{p_2}{l_2^{D_q}}\right)^q l_2^{D_q}\right]^n</math>		<math>\Gamma(q,\tau,l_2^n)=\left[\left(\frac{p_1}{l_1^{D_q}}\right)^q l_1^{D_q}+\left(\frac{p_2}{l_2^{D_q}}\right)^q l_2^{D_q}\right]^n</math>

−	q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, ~~D<sub>q</sub>에~~ 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 ~~무한대가~~	+	q가 (양 또는 음의) 무한대인 경우, D에 따라 각 항은 무한대가 되거나 0이 되거나 유한한 값으로 남을 수 있습니다. 특히 q가 양의 무한대일 때 D가 ln p<sub>1</sub> / ln l<sub>1</sub>이면 큰 괄호 안의 첫째항은 살아남고 두번째 항은 0이 됩니다. 반대로 q가 음의 무한대이면 D가 ln p<sub>2</sub> / ln l<sub>2</sub>일 때 첫째항은 0이 되고 두번째 항만 유한한 값이 됩니다. 이는 각각 m=n인 경우와 m=0인 경우에 해당합니다.