오일러의 소수생성다항식 x²+x+41 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:54에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

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Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

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찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

2012년 11월 10일 (토) 18:40에 Pythagoras0님의 편집

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 [[분류:에세이]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1136501 Q1136501]

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	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
	[[분류:에세이]]		[[분류:에세이]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1136501 Q1136501]

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 * <math>x^2+x+41</math>는 정수 <math>-40\leq x\leq 39</math> 에 대하여, 모두 소수가 된다
 * 이 성질은 이차수체의 class number 개념을 사용하여 설명할 수 있다.
-* 이와 비슷한 성질을 갖는 다항식으로 <math>x^2+x+2</math>, <math>x^2+x+3</math>, <math>x^2+x+5</math>, <math>x^2+x+11</math>, <math>x^2+x+17</math>가 있으며, 이 다항식의 근으로 생성되는, 이차수체는 모두 class number가 1이 된다.
+* 이와 비슷한 성질을 갖는 다항식으로 <math>x^2+x+2</math>, <math>x^2+x+3</math>, <math>x^2+x+5</math>, <math>x^2+x+11</math>, <math>x^2+x+17</math>가 있으며, 이 다항식의 근으로 생성되는, 이차수체는 모두 class number가 1이 된다.
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 ==증명==
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 * 자세한 사항은 [[파일:1989728-소수생성다항식.pdf]] 파일을 참조
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 ==UFD와의 관계==
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 <math>\mathbb{Z}[\frac{-1+\sqrt{-163}}{2}]</math>
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 가 모두 UFD 라는 사실과 동치이다.
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 정수의 집합 <math>\mathbb{Z}=\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}</math>으로 다시 돌아갑시다. 정수의 성질에 대해 연구하는(?) 수학의 분야인 정수론의 유명한 고전인 G.H.Hardy와 E.M.Wright의 “[http://www.amazon.com/Introduction-Theory-Numbers-Science-Publications/dp/0198531710 An Introduction to the Theory of Numbers]“ 의 첫번째 정리는 “모든 1이 아닌 양의 정수는 소수들의 곱으로 쓰여진다” 입니다. 그리고 두번째 정리는 바로 “정수를 그렇게 소수들의 곱으로 표현하는 방법은 유일하다”입니다. 너무나도 자명하여, 이게 정리인지 아닌지조차 헷갈릴 정도입니다. 그러나 이 두번째 정리에는 “The Fundamental Theorem of Arithmetic”이라고 하는 멋진 이름이 붙어 있습니다. “산술의 기본 정리”라고 하면 될까요. 이렇게 그 안의 수들이 소수들로 유일하게 분해될 때, 수학자들은 그 녀석을 UFD(Unique Factorization Domain) 라고 부릅니다. “산술의 기본 정리”를 다른 말로 표현하면 “<math>\mathbb{Z}</math>는 UFD 이다” 가 되겠습니다. 그럼 이제 이 당연해 보이는 사실이 왜 자명하지 않은지에 대해 한번 이해를 해 볼 차례입니다.
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 자 이제 매우 중요한 결과를 하나 언급 해야겠습니다.:<math>x=0,1,2,\cdots, 39</math> 일때, <math>f(x)=x^2+x+41</math> 는 소수라는 사실은, <math>\mathbb{Z}[\frac {-1+\sqrt{-163}} {2}]=\{a+b\cdot \frac {-1+\sqrt{-163}} {2}  \: : \: a,b \in \mathbb{Z}\}</math>이 UFD 라는 사실과 동치입니다.
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 ==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
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 ** UFD
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 ==관련된 대학원 과목==
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 * [[대수적수론]]
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 ==관련된 항목들==
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 * [[숫자 163]]
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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 ==사전형태의 참고자료==
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 * http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number
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 ==관련도서==
 * David A. Cox, [http://www.amazon.com/Primes-Form-x2-ny2-Multiplication/dp/0471190799 Primes of the Form x2 %2B ny2] : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication
 * Harvey Cohn, [http://www.amazon.com/Advanced-Number-Theory-Harvey-Cohn/dp/048664023X Advanced Number Theory]
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 ==관련논문==
 * Mollin, R. A. 1997. Prime-Producing Quadratics. The American Mathematical Monthly 104, no. 6 (June 1): 529-544. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2975080 10.2307/2975080].
 * Christilles, William Edward. 1961. An Elementary Analysis of an Integral Quadratic Form. The American Mathematical Monthly 68, no. 2 (February 1): 138-143. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2312478 10.2307/2312478].
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 ==링크==

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 ==증명==
 ===증명의 아이디어===
-* 자연수 n이 주어져 있을 때, n 이 소수인지 아닌지를 알려면 $\sqrt{n}$ 보다 작은 모든 소수로 나눠보아 나누어지지 않음을 확인하면 된다.
+* 자연수 n이 주어져 있을 때, n 이 소수인지 아닌지를 알려면 <math>\sqrt{n}</math> 보다 작은 모든 소수로 나눠보아 나누어지지 않음을 확인하면 된다.
-* $0\leq x\leq 39$일 때, <math>x^2+x+41</math>가 소수가 아니라면, 반드시 41보다 작은 소수를 약수로 가져야 한다
+* <math>0\leq x\leq 39</math>일 때, <math>x^2+x+41</math>가 소수가 아니라면, 반드시 41보다 작은 소수를 약수로 가져야 한다
 * 41보다 작은 소수 p 에 대하여, 합동식 <math>x^2+x+41\equiv 0 \pmod p</math> 가 해를 갖지 않음을 보이면 된다
 ** p는 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37} 는 중의 하나
 * 다음을 보이는 것으로 충분하다
-(정리) 소수 $2\leq p \leq 37$에 대하여, $x^2+x+41$를 $p$로 나눈 나머지는 0이 될 수 없다
+(정리) 소수 <math>2\leq p \leq 37</math>에 대하여, <math>x^2+x+41</math>를 <math>p</math>로 나눈 나머지는 0이 될 수 없다
 ===증명===
-$p=2$인 경우는 쉽게 증명된다.
+<math>p=2</math>인 경우는 쉽게 증명된다.
-소수 $2<p\leq 37$ 를 하나 고정시키자. $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times=\{1,2,\cdots, ,p-1\}$는 [[완전잉여계와 기약잉여계|기약잉여계]]이므로, $2b\equiv 1 \pmod p$ 를 만족시키는 $b\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$는 반드시 존재한다.
+소수 <math>2<p\leq 37</math> 를 하나 고정시키자. <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times=\{1,2,\cdots, ,p-1\}</math>는 [[완전잉여계와 기약잉여계|기약잉여계]]이므로, <math>2b\equiv 1 \pmod p</math> 를 만족시키는 <math>b\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>는 반드시 존재한다.
-$$x^2+x+41\equiv (x+b)^2-b^2+41 \pmod p$$ 이므로, $x^2+x+41\neq 0  \pmod p$임을 보이기 위해서는, $b^2-41$이 소수 $p$에 대한 비이차잉여임을 보이는 것으로 충분하다. 르장드르 부호를 계산해보자.
+:<math>x^2+x+41\equiv (x+b)^2-b^2+41 \pmod p</math> 이므로, <math>x^2+x+41\neq 0  \pmod p</math>임을 보이기 위해서는, <math>b^2-41</math>이 소수 <math>p</math>에 대한 비이차잉여임을 보이는 것으로 충분하다. 르장드르 부호를 계산해보자.
-$$
+:<math>
 \left(\frac{b^2-41}{p}\right)=\left(\frac{2^2}{p}\right)\left(\frac{b^2-41}{p}\right)=\left(\frac{(2b)^2-164}{p}\right)=\left(\frac{-163}{p}\right)
-$$
+</math>
-이제 $2<p\leq 37$에 대하여, $$\left(\frac{-163}{p}\right)=-1$$ 만 확인하면 된다.
+이제 <math>2<p\leq 37</math>에 대하여, :<math>\left(\frac{-163}{p}\right)=-1</math> 만 확인하면 된다.
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c}
   p & \left(\frac{-163}{p}\right) \\
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 & -1 \\
 \end{array}
-$$
+</math>
 * 자세한 사항은 [[파일:1989728-소수생성다항식.pdf]] 파일을 참조
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 <math>(1+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})=2+(2-1)\sqrt{-5}-(-5)=7+\sqrt{-5}</math>
-한 집합에서 두 녀석을 뽑아서 곱했더니, 여전히 같은 집합에 있다는 것이 제가 곱하기가 잘 성립한다고 말하는 것입니다. 이제 <math>1+\sqrt{-5}</math>과 <math>1-\sqrt{-5}</math> 를 곱해봅시다. 계산을 해 보면, 6을 얻게 됩니다. 2와 3을 곱해도 6을 얻게 됩니다.<br> 그런데 사실, <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 안에서, <math>1+\sqrt{-5}</math> ,<math>1-\sqrt{-5}</math>,2,3 은 모두 소수 역할을 하는 녀석들입니다. 즉, 저 녀석들을 다른 수들의 곱으로 표현할 수 있는 방법이 없습니다. 6은 적어도 두가지 이상의 방식으로 소수들로 쪼개진다! 이 결과가 말하는 것은 바로 “<math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 는 UFD 가 아니다” 라는 것입니다.
+한 집합에서 두 녀석을 뽑아서 곱했더니, 여전히 같은 집합에 있다는 것이 제가 곱하기가 잘 성립한다고 말하는 것입니다. 이제 <math>1+\sqrt{-5}</math>과 <math>1-\sqrt{-5}</math> 를 곱해봅시다. 계산을 해 보면, 6을 얻게 됩니다. 2와 3을 곱해도 6을 얻게 됩니다. 그런데 사실, <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 안에서, <math>1+\sqrt{-5}</math> ,<math>1-\sqrt{-5}</math>,2,3 은 모두 소수 역할을 하는 녀석들입니다. 즉, 저 녀석들을 다른 수들의 곱으로 표현할 수 있는 방법이 없습니다. 6은 적어도 두가지 이상의 방식으로 소수들로 쪼개진다! 이 결과가 말하는 것은 바로 “<math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 는 UFD 가 아니다” 라는 것입니다.
 자 이제 매우 중요한 결과를 하나 언급 해야겠습니다.:<math>x=0,1,2,\cdots, 39</math> 일때, <math>f(x)=x^2+x+41</math> 는 소수라는 사실은, <math>\mathbb{Z}[\frac {-1+\sqrt{-163}} {2}]=\{a+b\cdot \frac {-1+\sqrt{-163}} {2}  \: : \: a,b \in \mathbb{Z}\}</math>이 UFD 라는 사실과 동치입니다.
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 * [[초등정수론]]
-* [[추상대수학]]<br>
+* [[추상대수학]]
 ** UFD
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 ==링크==
-*  피타고라스의 창<br>
+*  피타고라스의 창
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/14/333 숫자 163 (3)]
 ** [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/21/336 숫자 163 (4)]

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 \begin{array}{c|c}
   p & \left(\frac{-163}{p}\right) \\
 & -1 \\
 & -1 \\

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	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
		+	[[분류:에세이]]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
@@ 99번째 줄: / 91번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
-* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxY2ZhZjk4YjItNzFjMS00ZjNlLWI0YjctNzViYzgwMTQ2YmI0&sort=name&layout=list&num=50
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxY2ZhZjk4YjItNzFjMS00ZjNlLWI0YjctNzViYzgwMTQ2YmI0/edit?hl=en_US
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxV3dOOXZ4M0xQMGM/edit
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
+* http://oeis.org/A005846
@@ 139번째 줄: / 129번째 줄: @@
 *  피타고라스의 창<br>
-** [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/14/333 숫자 163 (3)], [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/21/336 숫자 163 (4)]
+** [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/14/333 숫자 163 (3)]
 [[분류:정수론]]

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	한 집합에서 두 녀석을 뽑아서 곱했더니, 여전히 같은 집합에 있다는 것이 제가 곱하기가 잘 성립한다고 말하는 것입니다. 이제 <math>1+\sqrt{-5}</math>과 <math>1-\sqrt{-5}</math> 를 곱해봅시다. 계산을 해 보면, 6을 얻게 됩니다. 2와 3을 곱해도 6을 얻게 됩니다.<br> 그런데 사실, <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 안에서, <math>1+\sqrt{-5}</math> ,<math>1-\sqrt{-5}</math>,2,3 은 모두 소수 역할을 하는 녀석들입니다. 즉, 저 녀석들을 다른 수들의 곱으로 표현할 수 있는 방법이 없습니다. 6은 적어도 두가지 이상의 방식으로 소수들로 쪼개진다! 이 결과가 말하는 것은 바로 “<math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 는 UFD 가 아니다” 라는 것입니다.		한 집합에서 두 녀석을 뽑아서 곱했더니, 여전히 같은 집합에 있다는 것이 제가 곱하기가 잘 성립한다고 말하는 것입니다. 이제 <math>1+\sqrt{-5}</math>과 <math>1-\sqrt{-5}</math> 를 곱해봅시다. 계산을 해 보면, 6을 얻게 됩니다. 2와 3을 곱해도 6을 얻게 됩니다.<br> 그런데 사실, <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 안에서, <math>1+\sqrt{-5}</math> ,<math>1-\sqrt{-5}</math>,2,3 은 모두 소수 역할을 하는 녀석들입니다. 즉, 저 녀석들을 다른 수들의 곱으로 표현할 수 있는 방법이 없습니다. 6은 적어도 두가지 이상의 방식으로 소수들로 쪼개진다! 이 결과가 말하는 것은 바로 “<math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 는 UFD 가 아니다” 라는 것입니다.

−	자 이제 매우 중요한 결과를 하나 언급 해야겠습니다.~~<br>~~<math>x=0,1,2,\cdots, 39</math> 일때, <math>f(x)=x^2+x+41</math> 는 소수라는 사실은, <math>\mathbb{Z}[\frac {-1+\sqrt{-163}} {2}]=\{a+b\cdot \frac {-1+\sqrt{-163}} {2} \: : \: a,b \in \mathbb{Z}\}</math>이 UFD 라는 사실과 동치입니다.	+	자 이제 매우 중요한 결과를 하나 언급 해야겠습니다.:<math>x=0,1,2,\cdots, 39</math> 일때, <math>f(x)=x^2+x+41</math> 는 소수라는 사실은, <math>\mathbb{Z}[\frac {-1+\sqrt{-163}} {2}]=\{a+b\cdot \frac {-1+\sqrt{-163}} {2} \: : \: a,b \in \mathbb{Z}\}</math>이 UFD 라는 사실과 동치입니다.

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	* 피타고라스의 창<br>		* 피타고라스의 창<br>
	** [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/14/333 숫자 163 (3)], [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/21/336 숫자 163 (4)]		** [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/14/333 숫자 163 (3)], [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/01/21/336 숫자 163 (4)]
		+	[[분류:정수론]]