왓슨 변환(Watson transform) - 편집 역사

2020년 12월 28일 (월) 10:47에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:47:18Z

2020년 11월 16일 (월) 15:30에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T15:30:03Z

2013년 12월 1일 (일) 13:09에 Pythagoras0님의 편집

2013-12-01T13:09:49Z

2013년 6월 24일 (월) 10:45에 Pythagoras0님의 편집

2013-06-24T10:45:48Z

Pythagoras0: /* 응용2 */

2013-02-08T16:58:22Z

응용2

Pythagoras0: /* 응용 1 */

2013-02-08T16:56:18Z

응용 1

2013년 2월 8일 (금) 16:54에 Pythagoras0님의 편집

2013-02-08T16:54:28Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-15T02:06:17Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

2013-01-12T18:02:43Z

찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “ * 구글 블로그 검색
** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=” 문자열을 “” 문자열로

2012-11-02T15:56:06Z

찾아 바꾸기 – “ * 구글 블로그 검색<br> ** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=” 문자열을 “” 문자열로

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 ==복소함수 코탄젠트의 유용한 성질==
-* [[코탄젠트]] 항목의 '복소함수 코탄젠트의 유용한 성질' 부분 참조
+* [[코탄젠트]] 항목의 '복소함수 코탄젠트의 유용한 성질' 부분 참조
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 ==응용 1==
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 정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자. 다음 등식이 성립한다.
 :<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}=\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}</math>
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 (증명)
-<math>g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
+<math>g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
 :<math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{n^4-a^4}+\frac{\pi  \cot (\pi  a)}{2 a^3}+\frac{\pi  \coth (\pi  a)}{2 a^3}</math>
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 ■
-* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]  에 응용할 수 있다
+* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]  에 응용할 수 있다
 :<math>\lim_{a\to 0}\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}=\frac{\pi ^4}{90}</math>
 여기서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math> 를 얻는다.
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 ==응용2==
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 :<math>\pi  \cot (\pi  z)g(z)=\frac{\pi  \cot (\pi  z)}{z^2+z+1}</math>
 <math>z=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}</math> 에서의 residue 는
 :<math>\frac{\pi  \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math> 가 된다.
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 :<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi  \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math> 을 얻는다. ■
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 ==메모==
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 * http://radio.tkk.fi/en/studies/courses/S-26.300_2005/slides3.pdf
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 ==관련된 항목들==
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 * [[코탄젠트]]
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==

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	왓슨변환을 적용하면,		왓슨변환을 적용하면,
	:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math> 을 얻는다. ■		:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math> 을 얻는다. ■
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−	~~==역사==~~
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−	* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−	* [[수학사 연표]]

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 * [[유수정리(residue theorem)]] 의 응용
 * 정수점에서의 함수의 합을 복소함수의 적분을 통하여 표현
-*  단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다:<math>\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)</math><br> 여기서 <math>\sum</math> 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합<br>
+* 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
 * g 가 meromorphic 함수인 경우, 우변의 합에 적당한 유수를 더하여 사용할 수 있다
-*  g 가 meromorphic 함수이며, <math>z=a_1,\cdots, a_m</math> 에서 pole 을 가지는 경우 (<math>a_1,\cdots, a_m</math> 는 모두 정수가 아님을 가정):<math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{n=N} g(n)=-\sum_{k=1}^{m} \operatorname{Res}(a_k; g(z) \pi \cot (\pi z)</math><br>
+* g 가 meromorphic 함수이며, <math>z=a_1,\cdots, a_m</math> 에서 pole 을 가지는 경우 (<math>a_1,\cdots, a_m</math> 는 모두 정수가 아님을 가정)
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 ==복소함수 코탄젠트의 유용한 성질==
-* [[코탄젠트]] 항목의 '복소함수 코탄젠트의 유용한 성질' 부분 참조<br>
+* [[코탄젠트]] 항목의 '복소함수 코탄젠트의 유용한 성질' 부분 참조
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 <math>g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
-:<math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4-a^4}+\frac{\pi  \cot (\pi  a)}{2 a^3}+\frac{\pi  \coth (\pi  a)}{2 a^3}</math>
+:<math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{n^4-a^4}+\frac{\pi  \cot (\pi  a)}{2 a^3}+\frac{\pi  \coth (\pi  a)}{2 a^3}</math>
 여기서 우변에 더해진 항은<math>\{-a,-i a,i a,a\}</math> 에서 함수 <math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}</math>유수의 합이다.
@@ 42번째 줄: / 43번째 줄: @@
 * [[정수에서의 리만제타함수의 값]]  에 응용할 수 있다
 :<math>\lim_{a\to 0}\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}=\frac{\pi ^4}{90}</math>
-여기서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math> 를 얻는다.<br>
+여기서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math> 를 얻는다.
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 ==응용2==
-다음이 성립한다 :
+다음이 성립한다.
 :<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi  \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math>
@@ 103번째 줄: / 103번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxM2NkMjUzMzUtOGI1My00ZTM5LWI0MGYtNzQ2ZDc1NWU3NDhk&sort=name&layout=list&num=50
 [[분류:복소함수론]]

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	* [http://www.ams.org/news/math-in-the-media/mathdigest-index Summaries of Media Coverage of Math]		* [http://www.ams.org/news/math-in-the-media/mathdigest-index Summaries of Media Coverage of Math]
		+	[[분류:복소함수론]]

@@ 51번째 줄: / 51번째 줄: @@
 ==응용2==
+다음이 성립한다 :
-<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi  \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math>
+:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi  \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math>
 (증명)
-<math>g(z)=\frac{1}{z^2+z+1}</math>
+다음 함수의 pole과 residue 를 생각하자
+:<math>\pi  \cot (\pi  z)g(z)=\frac{\pi  \cot (\pi  z)}{z^2+z+1}</math>
-<math>z=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}</math> 에서의 residue 는  <math>\frac{\pi  \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math> 가 된다.
+<math>z=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}</math> 에서의 residue 는
 왓슨변환을 적용하면,
+:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi  \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}</math> 을 얻는다. ■

@@ 24번째 줄: / 24번째 줄: @@
 정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자. 다음 등식이 성립한다.
+:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}=\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}</math>
@@ 32번째 줄: / 30번째 줄: @@
 <math>g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
- <math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4-a^4}+\frac{\pi  \cot (\pi  a)}{2 a^3}+\frac{\pi  \coth (\pi  a)}{2 a^3}</math>
+여기서 우변에 더해진 항은<math>\{-a,-i a,i a,a\}</math> 에서 함수 <math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}</math>유수의 합이다.
 반지름을<math>R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})</math> 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.
-따라서
+이로부터 다음을 얻는다
+:<math>-\frac{1}{a^4}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}+\frac{\pi  \cot (\pi  a)}{2 a^3}+\frac{\pi  \coth (\pi  a)}{2 a^3}=0</math>
-<math>-\frac{1}{a^4}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}+\frac{\pi  \cot (\pi  a)}{2 a^3}+\frac{\pi  \coth (\pi  a)}{2 a^3}=0</math> 를 얻는다. ■
+■
-* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]  에 응용할 수 있다:<math>\lim_{a\to 0}\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}=\frac{\pi ^4}{90}</math><br> 여기서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math> 를 얻는다.<br>
+* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]  에 응용할 수 있다

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−	~~==이 항목의 수학노트 원문주소==~~
−
−	* [[왓슨 변환(Watson transform)]]
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	==개요==		==개요==

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	* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=		* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]

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	* [http://www.ams.org/news/math-in-the-media/mathdigest-index Summaries of Media Coverage of Math]		* [http://www.ams.org/news/math-in-the-media/mathdigest-index Summaries of Media Coverage of Math]
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