월리스 곱 (Wallis product formula) - 편집 역사

Pythagoras0: /* 메타데이터 */

2021-02-26T08:38:06Z

메타데이터

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2015-10-28T04:27:19Z

블로그

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2014년 1월 10일 (금) 12:28에 Pythagoras0님의 편집

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 [[분류:미적분학]]
 == 노트 ==

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	===소스===		===소스===
	<references />		<references />
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1501324 Q1501324]
		+	===Spacy 패턴 목록===
		+	* [{'LOWER': 'wallis'}, {'LEMMA': 'product'}]
		+	* [{'LOWER': 'wallis'}, {'LOWER': "'"}, {'LEMMA': 'product'}]

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	===Spacy 패턴 목록===		===Spacy 패턴 목록===
	* [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Wallis'}]		* [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Wallis'}]
		+
		+	== 노트 ==
		+
		+	===말뭉치===
		+	# Comparison of the convergence of the Wallis product (purple asterisks) and several historical infinite series foris the approximation after takingterms.<ref name="ref_277b1850">[https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product Wallis product]</ref>
		+	# The product, as n goes to infinity, is known as the Wallis product, and it is amazingly equal to π/2 ≈ 1.571.<ref name="ref_22afbcdd">[https://mindyourdecisions.com/blog/2016/10/12/the-wallis-product-formula-for-pi-and-its-proof/ The Wallis Product Formula For Pi And Its Proof – Mind Your Decisions]</ref>
		+	# There are some interesting details in the historical calculation of what is now called the Wallis product.<ref name="ref_22afbcdd" />
		+	# The results involved π/4 as well as the fractions involved in the Wallis product, and Wallis could re-write the expressions to find π in terms of a fractional product.<ref name="ref_22afbcdd" />
		+	# We can derive the Wallis product formula from these integrals.<ref name="ref_22afbcdd" />
		+	# I know how the value for the Wallis product was found, but none of these techniques seem to work on this seemingly related product.<ref name="ref_0ee8acf8">[https://math.stackexchange.com/questions/698176/infinite-product-related-to-the-wallis-product Infinite product related to the Wallis product]</ref>
		+	# Do you know or can you provide simple proofs of the above equation which do not use the Wallis product?<ref name="ref_44bab671">[https://mathoverflow.net/questions/257440/accelerated-wallis-product Accelerated Wallis' product]</ref>
		+	# I would be very curious to see if anyone has written on seeing the Wallis product this way in terms of sphere volumes before.<ref name="ref_485b18fb">[https://www.3blue1brown.com/sridhars-corner/2018/5/12/another-simple-geometric-proof-of-the-wallis-product Another Simple Geometric Proof of the Wallis Product — 3Blue1Brown]</ref>
		+	# Last week my cousin told me Wallis' product was quite his favorite formula in mathematics.<ref name="ref_1097d418">[https://www.hpmuseum.org/forum/thread-14476.html Wallis' product exploration]</ref>
		+	# I remembered the thread opened on this forum about PI approximations (like 355 / 113), and we decided to program Wallis product on Free42 while having a coffee...<ref name="ref_1097d418" />
		+	# In the previous post I mentioned about how to demonstrate the Wallis product for pi by starting from the powered sine integration.<ref name="ref_5740b247">[https://albertusk95.github.io/posts/2020/05/wallis-product-proof-with-euler-sine-infinite-product/ Proof of Wallis Product for Pi with Euler’s Infinite Product for Sine]</ref>
		+	# This time, we’re gonna see how to derive the Wallis product with Euler’s infinite product representation for sine function.<ref name="ref_5740b247" />
		+	# As a refresher, here’s the Wallis product for pi that we are trying to prove.<ref name="ref_5740b247" />
		+	===소스===
		+	<references />

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 [[분류:미적분학]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q208359 Q208359]

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	[[분류:원주율]]		[[분류:원주율]]
	[[분류:미적분학]]		[[분류:미적분학]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q208359 Q208359]

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 ==개요==
-* 1655년, 영국 수학자 월리스([http://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis John Wallis])는 월리스 곱이라 불려지는 다음과 같은 공식을 남긴다
+* 1655년, 영국 수학자 월리스([http://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis John Wallis])는 월리스 곱이라 불려지는 다음과 같은 공식을 남긴다
 :<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\big(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n - 1} \cdot\frac{2n}{2n+1}\big) = \frac{\pi}{2}</math>
 :<math>\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}</math>
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 * 뉴턴(1643년 1월-1727년 3월)
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 ==메모==
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 ==관련된 항목들==
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 * [[삼각함수의 적분]]
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQ1pCSTA2YzVhWG8/edit
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 ==사전형태의 자료==
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 * http://www22.wolframalpha.com/input/?i=wallis+product
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 ==블로그==

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 * 1655년, 영국 수학자 월리스([http://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis John Wallis])는 월리스 곱이라 불려지는 다음과 같은 공식을 남긴다
 :<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\big(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdots \frac{2n}{2n - 1} \cdot\frac{2n}{2n+1}\big) = \frac{\pi}{2}</math>
-$$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}$$
+:<math>\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\frac{2}{\pi}</math>
 * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/686 스털링이 드무아브르가 남긴 문제를 해결]할때 이 월리스의 공식을 사용 :<math>\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}{1\over{2n}}\cdot{{2^{4n}\,(n!)^4}\over{((2n)!)^2}}</math>
 * 이는 다음을 말해준다
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 ==증명==
-* 다음과 같이 수열 $\{a_n\}$을 정의하자 :<math>a_n:=\int_0^{\pi}\sin^{n}\theta{d\theta}= B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}</math> 여기서 $B(x,y)$는 [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]].
+* 다음과 같이 수열 <math>\{a_n\}</math>을 정의하자 :<math>a_n:=\int_0^{\pi}\sin^{n}\theta{d\theta}= B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}</math> 여기서 <math>B(x,y)</math>는 [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]].
-* 수열 $\{a_n\}$은 다음 점화식을 만족시킨다 $$a_0=\pi,a_1=2,$$ $$a_{n}=\frac{n-1}{n}a_{n-2} \label{rec}$$
+* 수열 <math>\{a_n\}</math>은 다음 점화식을 만족시킨다 :<math>a_0=\pi,a_1=2,</math> :<math>a_{n}=\frac{n-1}{n}a_{n-2} \label{rec}</math>
 ;보조정리1
-$$\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}\label{prod}$$
+:<math>\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}\label{prod}</math>
 ;증명
 \ref{rec}로부터 다음을 얻는다
-$$\frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{4 k^2-1}{4 k^2}$$ 으로부터
+:<math>\frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{4 k^2-1}{4 k^2}</math> 으로부터
-$$\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}$$을 얻는다.
+:<math>\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\prod _{k=1}^n \frac{4 k^2-1}{4 k^2}</math>을 얻는다.
 한편,
-$$\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{a_{1}a_{2n}}{a_{0} a_{2n+1}}=\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}$$
+:<math>\prod _{k=1}^n \frac{a_{2k}}{a_{2k-2}}\frac{a_{2k-1}}{a_{2k+1}}=\frac{a_{1}a_{2n}}{a_{0} a_{2n+1}}=\frac{\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}{\pi /2}</math>
 로부터 \ref{prod}을 얻는다. ■
 ;보조정리2
-$$\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1 \label{lim}$$
+:<math>\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1 \label{lim}</math>
 ;증명
-$a_{n}$은 단조감소수열이므로, 다음 부등식이 성립한다
+<math>a_{n}</math>은 단조감소수열이므로, 다음 부등식이 성립한다
-$$1 \le \frac{a_{2n}}{a_{2n+1}} \le \frac{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}$$
+:<math>1 \le \frac{a_{2n}}{a_{2n+1}} \le \frac{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}</math>
 우변에서는 \ref{rec}이 사용되었다.
-따라서 [[샌드위치 정리]]에 의해 $$\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1$$  ■
+따라서 [[샌드위치 정리]]에 의해 :<math>\lim_{n\to \infty } \, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=1</math>  ■
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 ==사인함수의 무한곱 표현을 이용한 증명==
-* 다음 사인함수의 무한곱 표현에서 $x=1/2$ 일 때, 월리스 곱을 얻는다
+* 다음 사인함수의 무한곱 표현에서 <math>x=1/2</math> 일 때, 월리스 곱을 얻는다
 :<math>\sin{\pi x} = \pi x \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\label{sinpro}</math>
 * [[삼각함수의 무한곱 표현]] 항목 참조
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 ==관련논문==
-* Friedmann, Tamar, and C. R. Hagen. “Quantum Mechanical Derivation of the Wallis Formula for $\pi$.” arXiv:1510.07813 [math-Ph, Physics:quant-Ph], October 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.07813.
+* Friedmann, Tamar, and C. R. Hagen. “Quantum Mechanical Derivation of the Wallis Formula for <math>\pi</math>.” arXiv:1510.07813 [math-Ph, Physics:quant-Ph], October 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.07813.
 [[분류:원주율]]
 [[분류:미적분학]]