이중적분과 바젤문제 - 편집 역사

2020년 12월 28일 (월) 10:51에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:51:13Z

2020년 11월 13일 (금) 17:34에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-13T17:34:55Z

Pythagoras0: /* 리뷰논문, 에세이, 강의노트 */

2015-09-24T14:50:43Z

리뷰논문, 에세이, 강의노트

2013년 4월 5일 (금) 12:12에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-05T12:12:35Z

2013년 3월 29일 (금) 09:03에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-29T09:03:57Z

2013년 3월 14일 (목) 08:15에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-14T08:15:55Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-15T02:57:10Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

2013-01-12T18:11:42Z

찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “==관련논문== * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= * http://www.ams.org/mathscinet * http://dx.doi.org/” 문자열을 “” 문자열로

2012-11-02T15:42:10Z

찾아 바꾸기 – “==관련논문== * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= * http://www.ams.org/mathscinet * http://dx.doi.org/” 문자열을 “” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색
http://books.google.com/books?q= http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=” 문자열을 “” 문자열로

2012-11-02T15:29:30Z

찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색<br> ** http://books.google.com/books?q= ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=” 문자열을 “” 문자열로

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 :<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy </math> 도 사용할 수 있는데, 이는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 와 관계있다
-−
 ==증명==
 * 다음의 등식을 증명하자
 :<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}\,dxdy=\frac{3}{4}\zeta(2)</math>
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 :<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots</math> 가 성립한다.■
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 ===단계 2===
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 :<math>I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) \,dudv =\frac{\pi ^2}{8}</math>■
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 ==또다른 증명==
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 :<math>I + \frac{1}{4}\zeta(2)=\zeta(2)</math> ■
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 ==역사==
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 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 * [[수학사 연표]]
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 ==관련된 항목들==
 * [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNjJjZjE4ZDAtNmRiOS00ZWRmLWEwODctNGYzY2VhNjQwYWI0&sort=name&layout=list&num=50
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-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
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-−
 ==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 * Silagadze, Z. K. “Sums of Generalized Harmonic Series for Kids from Five to Fifteen.” arXiv:1003.3602 [math], March 16, 2010. http://arxiv.org/abs/1003.3602.
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 [[분류:원주율]]
 [[분류:리만 제타 함수]]

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 :<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy </math>
 *  또 다른 이중적분
-:<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy </math><br> 도 사용할 수 있는데, 이는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 와 관계있다<br>
+:<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy </math> 도 사용할 수 있는데, 이는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 와 관계있다
@@ 10번째 줄: / 10번째 줄: @@
 ==증명==
 * 다음의 등식을 증명하자
-$$I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}\,dxdy=\frac{3}{4}\zeta(2)$$
+:<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}\,dxdy=\frac{3}{4}\zeta(2)</math>
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 ===단계 2===
-$$I=\frac{\pi ^2}{8}$$
+:<math>I=\frac{\pi ^2}{8}</math>
 (증명)
 :<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy</math> 에서

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	==리뷰논문, 에세이, 강의노트==		==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
		+	* Silagadze, Z. K. “Sums of Generalized Harmonic Series for Kids from Five to Fifteen.” arXiv:1003.3602 [math], March 16, 2010. http://arxiv.org/abs/1003.3602.

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	[[분류:원주율]]		[[분류:원주율]]
		+	[[분류:리만 제타 함수]]

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 ==개요==
-* <math>\zeta(2) ={\pi^2}/{6}</math> 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다:<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy </math><br>
+* <math>\zeta(2) ={\pi^2}/{6}</math> 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다
-*  또 다른 이중적분:<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy </math><br> 도 사용할 수 있는데, 이는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 와 관계있다<br>
+:<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy </math>
 *  또 다른 이중적분
 :<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy </math><br> 도 사용할 수 있는데, 이는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 와 관계있다<br>
-==단계 1==
+==증명==
-<math>\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots</math> 이므로
+===단계 1===
-<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots</math> 가 성립한다.
+(증명)
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-==단계 2==
+===단계 2===
-<math>I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy</math> 에서 <math>x=\sin (u) \sec (v)</math>, <math>y=\sec (u) \sin (v)</math> 로 치환을 하자.
+[[자코비안]]은 다음과 같다.
+:<math>\left| \begin{array}{cc}  \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \\  \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)</math>
-자코비안은 다음과 같다.
+치환적분을 하면
+:<math>I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) \,dudv =\frac{\pi ^2}{8}</math>■
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-==단계 3==
+==또다른 증명==
 <math>I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots = \frac{3}{4}\zeta(2)</math> 임을 보이자.
 (증명)
-<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+\cdots = \frac{1}{4}\zeta(2)</math>
+따라서 \ref{odd}와 \ref{even}의 양변을 더하면, 다음을 얻는다
+:<math>I + \frac{1}{4}\zeta(2)=\zeta(2)</math> ■
@@ 66번째 줄: / 63번째 줄: @@
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 * [[수학사 연표]]
 ==관련된 항목들==
+* [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
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 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNjJjZjE4ZDAtNmRiOS00ZWRmLWEwODctNGYzY2VhNjQwYWI0&sort=name&layout=list&num=50
@@ 122번째 줄: / 81번째 줄: @@
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/

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	+	[[분류:원주율]]

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	* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=		* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]

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138번째 줄:		138번째 줄:


−	~~==관련논문==~~

−	* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
−	* http://www.ams.org/mathscinet
−	* http://dx.doi.org/

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147번째 줄:		147번째 줄:


−
−	~~==관련도서==~~
−
−	* 도서내검색<br>
−	** http://books.google.com/books?q=
−	** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=