전자기학의 라그랑지안 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 10:23에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: 새 문서: ==하전입자에 대한 라그랑지안== * 전기장 $\mathbf{E}=\nabla \phi$ * 자기장 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ * 전자기장 안에 놓인 질량 $m$, 전하 $e$...

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새 문서: ==하전입자에 대한 라그랑지안== * 전기장 $\mathbf{E}=\nabla \phi$ * 자기장 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ * 전자기장 안에 놓인 질량 $m$, 전하 $e$...

새 문서

==하전입자에 대한 라그랑지안==
* 전기장 $\mathbf{E}=\nabla \phi$
* 자기장 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$
* 전자기장 안에 놓인 질량 $m$, 전하 $e$의 하전입자에 대한 라그랑지안
:<math>L(q,\dot{q})=\frac{m||\dot{q}||^2}{2}-e\phi+eA_{i}\dot{q}^{i}</math>
* 켤레운동량
:<math>p_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}^{i}}}=m \dot{q}_{i}+eA_{i}=mv_{i}+eA_{i}</math>
* 오일러-라그랑지 방정식 <math>\dot{p}=F</math>은 다음과 같이 쓰여진다
$$
\dot{p}_{i}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial t}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j} \\
F_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q^{i}}}=\frac{\partial}{\partial{{q}^{i}}}(-e\phi+eA_{j}\dot{q}^{j})=-e\frac{\partial{\phi}}{\partial{q}^{i}} +e\frac{\partial{A_{j}}}{\partial{q}^{i}}\dot{q}^{j}
$$
:<math>m\frac{dv_{i}}{dt}=eE_{i}+eF_{ij}\dot{q}^{j},\quad i=1,2,3 \label{eom}</math>
여기서 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$
* $F_{12}=B_{3}$, $F_{23}=B_{1}$, $F_{31}=B_{2}$
* 가령 $i=1$이면, \ref{eom}은 다음과 같다
$$
ma_1=eE_1+e(F_{11}\dot{q}^{1}+F_{12}\dot{q}^{2}+F_{13}\dot{q}^{3})=eE_1+e(F_{12}\dot{q}^{2}-F_{31}\dot{q}^{3})=eE_1+e(\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{1}
$$
* 전하가 받는 힘 $\mathbf{F}$는 다음과 같다
:<math>\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})</math>
* 이를 로렌츠 힘이라 한다
* [[전자기 텐서와 맥스웰 방정식]]

==전자기장에 대한 라그랑지안==
===상호작용이 없는 경우===
* $j$와 $\rho$가 0인 경우
* 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)$$
이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜
* 작용
:<math>S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x</math>
* 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다
:<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)</math>
여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장
* 운동방정식
$$
\partial_\mu F^{\mu\nu}=0
$$

===상호작용이 있는 경우===
* $j$와 $\rho$가 0이 아닌 경우
* 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
$$L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu$$
* 작용
$$S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt$$
* 운동방정식
$$
\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
\nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t}
$$

==메모==
* http://dexterstory.tistory.com/724
* http://physics.stackexchange.com/questions/3005/derivation-of-maxwells-equations-from-field-tensor-lagrangian?rq=1

==관련된 항목들==
* [[맥스웰 방정식]]

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTnVDTUZHbm8xNzA/edit

==사전 형태의 참고자료==
* http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force

==리뷰, 에세이, 강의노트==
* THOMAS YU [http://math.uchicago.edu/~may/REU2012/REUPapers/Yu.pdf Lagrangian formulation of the electromagnetic field]
* Lea, [http://www.physics.sfsu.edu/~lea/courses/grad/fldlagr.PDF The field Lagrangian]
* Susskind, [http://www.lecture-notes.co.uk/susskind/classical-mechanics/lecture-8/the-electromagnetic-lagrangian/ The electromagnetic Lagrangian]
* Lecture 8 | Modern Physics: Classical Mechanics (Stanford). 2008. http://www.youtube.com/watch?v=gUUbl444r74&feature=youtube_gdata_player.
* http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/six.pdf

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 [[분류:수리물리학]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q172137 Q172137]

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	[[분류:수리물리학]]		[[분류:수리물리학]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q172137 Q172137]

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	==관련된 항목들==		==관련된 항목들==
	* [[맥스웰 방정식]]		* [[맥스웰 방정식]]
		+	* [[맥스웰 방정식의 게이지 불변성]]
		+	* [[게이지 이론]]

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	* Lecture 8 \| Modern Physics: Classical Mechanics (Stanford). 2008. http://www.youtube.com/watch?v=gUUbl444r74&feature=youtube_gdata_player.		* Lecture 8 \| Modern Physics: Classical Mechanics (Stanford). 2008. http://www.youtube.com/watch?v=gUUbl444r74&feature=youtube_gdata_player.
	* http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/six.pdf		* http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/six.pdf
		+
		+
		+	[[분류:수리물리학]]

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 ==하전입자에 대한 라그랑지안==
-* 전기장 $\mathbf{E}=-\nabla \phi$
+* 전기장 <math>\mathbf{E}=-\nabla \phi</math>
-* 자기장 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$
+* 자기장 <math>\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}</math>
-* 전자기장 안에 놓인 질량 $m$, 전하 $e$의 하전입자에 대한 라그랑지안
+* 전자기장 안에 놓인 질량 <math>m</math>, 전하 <math>e</math>의 하전입자에 대한 라그랑지안
 :<math>L(q,\dot{q})=\frac{m||\dot{q}||^2}{2}-e\phi+eA_{i}\dot{q}^{i}</math>
 * 켤레운동량
 :<math>p_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}^{i}}}=m \dot{q}_{i}+eA_{i}=mv_{i}+eA_{i}</math>
 * [[오일러-라그랑지 방정식]] <math>\dot{p}=F</math>은 다음과 같이 쓰여진다
-$$
+:<math>
 \dot{p}_{i}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial t}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j}=m\frac{dv_{i}}{dt}+e\frac{\partial{A_{i}}}{\partial{q}^{j}}\dot{q}^{j} \\
 F_{i}=\frac{\partial{L}}{\partial{q^{i}}}=\frac{\partial}{\partial{{q}^{i}}}(-e\phi+eA_{j}\dot{q}^{j})=-e\frac{\partial{\phi}}{\partial{q}^{i}} +e\frac{\partial{A_{j}}}{\partial{q}^{i}}\dot{q}^{j}
-$$
+</math>
 :<math>m\frac{dv_{i}}{dt}=eE_{i}+eF_{ij}\dot{q}^{j},\quad i=1,2,3 \label{eom}</math>
-여기서 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$
+여기서 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>
-* $F_{12}=B_{3}$, $F_{23}=B_{1}$, $F_{31}=B_{2}$
+* <math>F_{12}=B_{3}</math>, <math>F_{23}=B_{1}</math>, <math>F_{31}=B_{2}</math>
-* 가령 $i=1$이면, \ref{eom}은 다음과 같다
+* 가령 <math>i=1</math>이면, \ref{eom}은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 ma_1=eE_1+e(F_{11}\dot{q}^{1}+F_{12}\dot{q}^{2}+F_{13}\dot{q}^{3})=eE_1+e(F_{12}\dot{q}^{2}-F_{31}\dot{q}^{3})=eE_1+e(\mathbf{v}\times \mathbf{B})_{1}
-$$
+</math>
-* 전하가 받는 힘 $\mathbf{F}$는 다음과 같다
+* 전하가 받는 힘 <math>\mathbf{F}</math>는 다음과 같다
 :<math>\mathbf{F}=e(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})</math>
 * 이를 로렌츠 힘이라 한다
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 ==전자기장에 대한 라그랑지안==
 ===상호작용이 없는 경우===
-* $j$와 $\rho$가 0인 경우
+* <math>j</math>와 <math>\rho</math>가 0인 경우
 * 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
-$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)$$
+:<math>\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2)</math>
-이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜
+이 때 <math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>는 전자기텐서, <math>A=(A_{\mu})</math>는 전자기 포텐셜
 * 작용
 :<math>S=-\frac{1}{4}\int F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta}\,d^{4}x</math>
 * 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다
 :<math>A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)</math>
-여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장
+여기서 <math>\Lambda(x)</math>는 임의의 스칼라장
 * 운동방정식
-$$
+:<math>
 \partial_\mu F^{\mu\nu}=0
-$$
+</math>
 ===상호작용이 있는 경우===
-* $j$와 $\rho$가 0이 아닌 경우
+* <math>j</math>와 <math>\rho</math>가 0이 아닌 경우
 * 전자기장에 대한 라그랑지안은 다음과 같다
-$$L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu$$
+:<math>L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-ej_\mu A^\mu</math>
 * 작용
-$$S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt$$
+:<math>S[\phi,A]=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbb{R}^3}\left(-\rho\phi+j\cdot A+\frac{\epsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)\,dV\,dt</math>
 * 운동방정식
-$$
+:<math>
 \nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
 \nabla\times B=\mu_0j+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t}
-$$
+</math>

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 * THOMAS YU [http://math.uchicago.edu/~may/REU2012/REUPapers/Yu.pdf Lagrangian formulation of the electromagnetic field]
 * Lea, [http://www.physics.sfsu.edu/~lea/courses/grad/fldlagr.PDF The field Lagrangian]
 * Lecture 8 | Modern Physics: Classical Mechanics (Stanford). 2008. http://www.youtube.com/watch?v=gUUbl444r74&feature=youtube_gdata_player.
 * http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/six.pdf
 [[분류:수리물리학]]