정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) - 편집 역사

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 [[분류:정수론]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q5446972 Q5446972]

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	* Daniel Berend; Yuri Bilu, [http://www.ams.org/proc/1996-124-06/S0002-9939-96-03210-8/home.html Polynomials with roots modulo every integer] Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1663-1671.		* Daniel Berend; Yuri Bilu, [http://www.ams.org/proc/1996-124-06/S0002-9939-96-03210-8/home.html Polynomials with roots modulo every integer] Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1663-1671.
	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
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		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q5446972 Q5446972]

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 ==개요==
-* 정수계수 다항식 $f(x)$가 주어져 있을 때, 소수 $p$에 대하여 $f(x) \pmod p$ 를 생각한다.
+* 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>가 주어져 있을 때, 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>f(x) \pmod p</math> 를 생각한다.
-* 이 때, 어느 소수 $p$에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 $p$가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
+* 이 때, 어느 소수 <math>p</math>에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 <math>p</math>가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
 * 이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 기본이 되는 질문들
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 ;정리
-<math>p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 order가 <math>r</math>이라 하자. 즉 $r$이 <math>p^r=1\pmod n</math> 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.
+<math>p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 order가 <math>r</math>이라 하자. 즉 <math>r</math>이 <math>p^r=1\pmod n</math> 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.
-그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 $r$인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다.
+그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 <math>r</math>인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다.
 ;증명
-원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdots f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_ 1</math>의 차수가 $s$라고 하자.
+원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdots f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_ 1</math>의 차수가 <math>s</math>라고 하자.
 <math>\mathbb{F}_p</math>의 적당한 체확장에서 기약다항식  <math>f_ 1</math>의 근 <math>\alpha</math> 를 찾자. 그러면, <math>\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 을 얻는다.
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 유한체 <math>\mathbb F_{p^s}</math> 는 방정식 <math>x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)</math> 의 근으로 구성되므로, <math>n|{p^s-1}</math> 을 얻는다.
-따라서 $p^s=1\pmod n$이고, <math>s\geq r</math>을 얻는다.
+따라서 <math>p^s=1\pmod n</math>이고, <math>s\geq r</math>을 얻는다.
-이제 <math>s\leq r</math> 임을 보이자. $r$의 정의로부터, <math>n | p^r-1</math>  임을 안다.
+이제 <math>s\leq r</math> 임을 보이자. <math>r</math>의 정의로부터, <math>n | p^r-1</math>  임을 안다.
-$\alpha^n=1$이므로, <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다.
+<math>\alpha^n=1</math>이므로, <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다.
 <math>\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 이므로, <math>s\leq r</math> 이다.
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 ==다른 예==
-* $x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+27y^2=p$ 의 정수해가 존재
+* <math>x^3-x+1 \pmod p</math> 가 일차식으로 분해 <math>\iff</math> <math>x^2+27y^2=p</math> 의 정수해가 존재
 * [[다항식 x^3-x+1]] 항목 참조
-* $x^3-2 \pmod p$가 일차식으로 분해될 조건은 <math>x^2+27y^2=p</math>의 정수해와 관련
+* <math>x^3-2 \pmod p</math>가 일차식으로 분해될 조건은 <math>x^2+27y^2=p</math>의 정수해와 관련
 * [[이차형식 x^2+27y^2]] 항목 참조

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 *  <math>n | (p-1)</math> 이면, <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 <math>\text{Frob}_p</math> 가 체확장 <math>\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)</math>의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.
-프로베니우스의 밀도 정리에 의하면, <math>\text{Frob}_p</math>가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 <math>p\equiv 1 \pmod n</math> 가 증명된다.
+* [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리|프로베니우스의 밀도 정리]]에 의하면, <math>\text{Frob}_p</math>가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 <math>p\equiv 1 \pmod n</math> 가 증명된다.
 * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] 항목도 참조.
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 ==프로베니우스의 밀도 정리==
 * [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리]]에서 다룸
 ==체보타레프 밀도 정리==
 * 일반적인 수체

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 * 정수계수 다항식 $f(x)$가 주어져 있을 때, 소수 $p$에 대하여 $f(x) \pmod p$ 를 생각한다.
 * 이 때, 어느 소수 $p$에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 $p$가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
-* 이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 근본적인 질문들
+* 이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 기본이 되는 질문들

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 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
 * R.Taylor, [http://www.math.harvard.edu/%7Ertaylor/shaw.pdf Reciprocity laws and density theorems]
 * R.Taylor, [http://math.berkeley.edu/sites/default/files/pages/taylor_talk_1.pdf Reciprocity laws and density theorems], 강연 슬라이드

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 ==개요==
-* 정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
+* 정수계수 다항식 $f(x)$가 주어져 있을 때, 소수 $p$에 대하여 $f(x) \pmod p$ 를 생각한다.
-* 이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
+* 이 때, 어느 소수 $p$에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 $p$가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
 * 이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 근본적인 질문들
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 * 상호법칙의 질문에 따라 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
-* <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
+* 원분다항식 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
 ;정리
 ;증명
-원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdot f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_ 1</math>의 차수가 s라고 하자.
+원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdots f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_ 1</math>의 차수가 $s$라고 하자.
 <math>\mathbb{F}_p</math>의 적당한 체확장에서 기약다항식  <math>f_ 1</math>의 근 <math>\alpha</math> 를 찾자. 그러면, <math>\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 을 얻는다.
@@ 53번째 줄: / 51번째 줄: @@
 <math>f_ 1(\alpha)=0</math> 이므로,  <math>\Phi_n(\alpha)=0</math>이고, 따라서 <math>\alpha^n=1</math> 이다.
 유한체 <math>\mathbb F_{p^s}</math> 는 방정식 <math>x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)</math> 의 근으로 구성되므로, <math>n|{p^s-1}</math> 을 얻는다.
+따라서 $p^s=1\pmod n$이고, <math>s\geq r</math>을 얻는다.
-이제 <math>s\leq r</math> 임을 보이자. r의 정의로부터, <math>n | p^r-1</math>  임을 안다.
+이제 <math>s\leq r</math> 임을 보이자. $r$의 정의로부터, <math>n | p^r-1</math>  임을 안다.
-따라서 <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다.
+$\alpha^n=1$이므로, <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다.
 <math>\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 이므로, <math>s\leq r</math> 이다.
@@ 65번째 줄: / 62번째 줄: @@
 따라서  <math>r=s</math> 임이 증명된다. ■
 ;따름정리
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 ==다른 예==
 * $x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+27y^2=p$ 의 정수해가 존재
 * [[다항식 x^3-x+1]] 항목 참조
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 *  <math>n | (p-1)</math> 이면, <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 <math>\text{Frob}_p</math> 가 체확장 <math>\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)</math>의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.
+프로베니우스의 밀도 정리에 의하면, <math>\text{Frob}_p</math>가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 <math>p\equiv 1 \pmod n</math> 가 증명된다.
 * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] 항목도 참조.
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 * 이차잉여의 상호법칙
 * 디리클레 정리
-* [[가우스 합|가우스합]]
+* [[가우스 합]]
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 ==관련된 항목들==
 * [[이차잉여의 상호법칙]]
 * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
 * [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리]]
 * [[수학사 연표]]
 * [[합동식과 군론]]
@@ 150번째 줄: / 141번째 줄: @@
-==관련논문==
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* B. F. Wyman, [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?] <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
-* [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?] B. F. Wyman, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
+* Emma Lehmer [http://www.jstor.org/stable/2320065 Rational Reciprocity Laws], <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 467-472
-* [http://www.jstor.org/stable/2320065 Rational Reciprocity Laws]<br>
+* B. Sury [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes], Springer India,  Volume 8, Number 12 / 2003년 12월
 ** http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf
-* [http://www.ams.org/proc/1996-124-06/S0002-9939-96-03210-8/home.html Polynomials with roots modulo every integer]<br>
+* Daniel Berend; Yuri Bilu, [http://www.ams.org/proc/1996-124-06/S0002-9939-96-03210-8/home.html Polynomials with roots modulo every integer] Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1663-1671.
 [[분류:정수론]]

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 * <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
+;정리
 <math>p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 order가 <math>r</math>이라 하자. 즉 r이 <math>p^r=1\pmod n</math> 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.
 그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다.
-(증명)
+;증명
 원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdot f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_ 1</math>의 차수가 s라고 하자.
@@ 71번째 줄: / 68번째 줄: @@
-(따름정리)
+;따름정리
 <math>n | (p-1)</math>  <math>\iff</math>  <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해된다
-(증명)
+;증명
-위의 정리에서 <math>r=1</math>인 경우에 해당한다   \[FilledSquare]
+위의 정리에서 <math>r=1</math>인 경우에 해당한다. ■
 ==다른 예==
 * $x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+27y^2=p$ 의 정수해가 존재
 * [[다항식 x^3-x+1]] 항목 참조

@@ 66번째 줄: / 66번째 줄: @@
 <math>\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 이므로, <math>s\leq r</math> 이다.
-따라서  <math>r=s</math> 임이 증명된다. \[FilledSquare]
+따라서  <math>r=s</math> 임이 증명된다. ■
@@ 90번째 줄: / 91번째 줄: @@
 ==디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙==
-*  <math>n | p-1</math> 이면, <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 <math>\text{Frob}_p</math> 가 체확장 <math>\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)</math>의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.
+*  <math>n | (p-1)</math> 이면, <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 <math>\text{Frob}_p</math> 가 체확장 <math>\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)</math>의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.
 프로베니우스의 density 정리에 의하면, <math>\text{Frob}_p</math>가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 <math>p\equiv 1 \pmod n</math> 가 증명된다.