중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 13:00에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T13:00:00Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:27:40Z

메타데이터: 새 문단

211.43.136.63: /* 중복조합의 공식 증명 1 */

2020-12-23T03:23:27Z

중복조합의 공식 증명 1

Pythagoras0: /* 개요 */

2020-11-13T06:54:50Z

개요

2020년 11월 13일 (금) 06:51에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-13T06:51:55Z

58.230.133.52: /* 개요 */

2020-10-27T12:22:42Z

개요

58.230.133.52: /* 개요 */

2020-10-27T12:19:50Z

개요

58.230.133.52: /* 개요 */

2020-10-27T12:18:22Z

개요

Pythagoras0: /* 생성함수 */

2016-08-29T08:37:10Z

생성함수

Pythagoras0: /* 개요 */

2015-05-07T09:46:36Z

개요

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 [[분류:조합수학]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q864377 Q864377]

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	[[분류:조합수학]]		[[분류:조합수학]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q864377 Q864377]

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 ** 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45
 ** 이것은 1부터 5까지 중에서 2개를 선택하는 방법과 같아짐.
-* 그러므로, <math>_4 H_2=_5 H_2</math>
+* 그러므로, <math>_4 H_2=_5 C_2</math>
 * 또다른 예. <math>2 H_3</math>의 계산.
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 * 그러므로, <math>_2 H_3=_4 C_3</math>
 * 특정한 조합과 특정한 중복조합 사이에 [[일대일대응]]이 존재하는 것을 보이는 것임.
 ==중복조합의 공식 증명 2==

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 ** 1과 2에서 세 개를 취하는 중복조합은 111, 112, 122, 222의 네 가지가 있음.
 * n개 중에서 r개를 선택하는 중복조합의 개수를 <math>_n H_r=\textstyle\left\langle{n\atop r}\right\rangle</math> 로 나타낸다.
-* 변수의 개수가 <math>n</math>이고, 차수가 <math>d</math>인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 벡터공간의 차원은 <math>_n H_r=\textstyle\left\langle{n\atop r}</math>이며, 중복조합의 H는 homogeneous에서 온 것이다
+* 변수의 개수가 <math>n</math>이고, 차수가 <math>d</math>인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 벡터공간의 차원은 <math>_n H_d</math>이며, 중복조합의 H는 homogeneous에서 온 것이다
-* <math>n</math>차원 벡터공간 <math>V</math>에 대하여 [[대칭곱 (symmetric power)과 대칭텐서|대칭곱]] <math>\operatorname{Sym}^d V</math>의 차원은 <math>_n H_r=\textstyle\left\langle{n\atop r}</math>로 주어진다
+* <math>n</math>차원 벡터공간 <math>V</math>에 대하여 [[대칭곱 (symmetric power)과 대칭텐서|대칭곱]] <math>\operatorname{Sym}^d V</math>의 차원은 <math>_n H_d</math>로 주어진다
 ==조합과의 비교==

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 * n개 중에서 r개를 선택하는 중복조합의 개수를 <math>_n H_r=\textstyle\left\langle{n\atop r}\right\rangle</math> 로 나타낸다.
 * 변수의 개수가 <math>n</math>이고, 차수가 <math>d</math>인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 벡터공간의 차원은 <math>_n H_r=\textstyle\left\langle{n\atop r}</math>이며, 중복조합의 H는 homogeneous에서 온 것이다
-* <math>n</math>차원 벡터공간 <math>V</math>에 대하여 [[대칭곱 (symmetric power)과 대칭텐서|대칭곱]] $\operatorname{Sym}^d V$의 차원은 <math>_n H_r=\textstyle\left\langle{n\atop r}</math>로 주어진다
+* <math>n</math>차원 벡터공간 <math>V</math>에 대하여 [[대칭곱 (symmetric power)과 대칭텐서|대칭곱]] <math>\operatorname{Sym}^d V</math>의 차원은 <math>_n H_r=\textstyle\left\langle{n\atop r}</math>로 주어진다
 ==조합과의 비교==
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 *  중복조합의 공식:<math>_n H_r=_{n+r-1}C_{r}</math>
-* 증명의 아이디어를 이해하기 위해, $_4 H_2$의 예를 들어보자
+* 증명의 아이디어를 이해하기 위해, <math>_4 H_2</math>의 예를 들어보자
 *  1,2,3,4 중에서 뽑는 것으로 하면, 중복해서 두 개를 뽑는 방법은 다음과 같이 열 가지가 있음.
 ** 11,12,13,14,22,23,24,33,34,44
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 ** 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45
 ** 이것은 1부터 5까지 중에서 2개를 선택하는 방법과 같아짐.
-* 그러므로, $_4 H_2=_5 H_2$
+* 그러므로, <math>_4 H_2=_5 H_2</math>
-* 또다른 예. $2 H_3$의 계산.
+* 또다른 예. <math>2 H_3</math>의 계산.
 *  1,2 중에서 세 가지를 택하는 중복조합은 다음과 같음.
 ** 111,112,122,222
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 ** 123,124,134,234
 ** 이 경우는 1,2,3,4 중에서 세 개를 뽑는 조합과 일치함.
-* 그러므로, $_2 H_3=_4 C_3$
+* 그러므로, <math>_2 H_3=_4 C_3</math>
 * 특정한 조합과 특정한 중복조합 사이에 [[일대일대응]]이 존재하는 것을 보이는 것임.
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 * [[생성함수]]
-* 한 개의 원소에서 얻어지는 중복조합 $\{ \{\}, \{x\}, \{x,x\}, \{x,x,x\}, ... \}$ 의 생성함수는 $S = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = 1 + xS$로부터 $S=1/(1-x)$
+* 한 개의 원소에서 얻어지는 중복조합 <math>\{ \{\}, \{x\}, \{x,x\}, \{x,x,x\}, ... \}</math> 의 생성함수는 <math>S = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = 1 + xS</math>로부터 <math>S=1/(1-x)</math>
 * 두 개의 경우는
-$$
+:<math>
 (1-x)^{-1}(1-y)^{-1}=1+(x+y)+(x^2+xy+y^2)+(x^3+x^2y+xy^2+y^3)+\cdots
-$$
+</math>
 * 따라서
-$$
+:<math>
 \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{r=0}^{\infty} \textstyle\left\langle{2\atop r}\right\rangle x^r
-$$
+</math>
 *  n개의 원소에서 r개를 뽑는 중복조합의 생성함수는 다음과 같이 주어진다
 :<math>

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 \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{r=0}^{\infty} \textstyle\left\langle{2\atop r}\right\rangle x^r
 $$
-*  n개의 원소에서 k개를 뽑는 중복조합의 생성함수는 다음과 같이 주어진다
+*  n개의 원소에서 r개를 뽑는 중복조합의 생성함수는 다음과 같이 주어진다
 :<math>
 \begin{aligned}
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 </math>
 * [[이항급수와 이항정리]] 항목 참조
 ==부정방정식에의 응용==