코스트카 다항식 (Kostka polynomial) - 편집 역사

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새 문서

==introduction==
* 갈고리 공식
* 라스꾸-슈첸베르제 (Lascoux-Schützenberger) 공식

==코스트카 수==
* [[코스트카 수 (Kostka number)]]
* 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 $V_{\lambda}$에서 $\mu$를 무게(weight)로 갖는 무게 공간(weight space)의 차원
* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] $s_{\lambda}(\mathbb{x})$ 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] $m_{\mu}(\mathbb{x})$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
$$s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x})$$

==코스트카 다항식==
* 코스트카 다항식 $K_{\lambda,\mu}(q)$은 슈르 다항식 $s_{\lambda}(x)$과 [[홀-리틀우드(Hall-Littlewood) 대칭함수]] $P_{\mu}(x,q)$의 연결계수로서 나타난다
$$
s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}P_\mu(\mathbb{x},q)
$$

==라스꾸-슈첸베르제 (Lascoux-Schützenberger) 공식==
* In 1978 Lascoux and Schützenberger proved the remarkable fact that $K_{\lambda,\mu}(q)$ is a polynomial in $q$ with non-negative integer coefficients.
* They proved this by showing that $K_{\lambda,\mu}(q)=\sum q^{c(T)}$, where $T$ varies over all semi-standard tableaux of shape $\lambda$ and weight $\mu$ and $c(T)$ is an integer-valued function, called the charge of the tableau $T$, which is still a mysterious object in combinatorics.

==related items==
* [[Fermionic formula and X=M=N conjecture]]
* [[Rigged configurations]]
* [[Macdonald polynomials]]

==expositions==
* [http://www.aimath.org/WWN/kostka/ Generalized Kostka Polynomials]
* Yamada, Yasuhiko. 1996. “Kostka Polynomials and Crystals.” Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku (962): 86–96.
* Foulkes, H. O. 1974. “A Survey of Some Combinatorial Aspects of Symmetric Functions.” In Permutations (Actes Colloq., Univ. René-Descartes, Paris, 1972), 79–92. Gauthier-Villars, Paris. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0416934.

==articles==
* Takeyama, Yoshihiro. “A Deformation of Affine Hecke Algebra and Integrable Stochastic Particle System.” arXiv:1407.1960 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.1960.
* Okado, Masato, Anne Schilling, and Mark Shimozono. “A Crystal to Rigged Configuration Bijection for Nonexceptional Affine Algebras.” arXiv:math/0203163, March 15, 2002. http://arxiv.org/abs/math/0203163.
* Schilling, Anne, and Mark Shimozono. 2001. “Fermionic Formulas for Level-Restricted Generalized Kostka Polynomials and Coset Branching Functions.” Communications in Mathematical Physics 220 (1): 105–164. doi:10.1007/s002200100443.
* Kirillov, Anatol N., Anne Schilling, and Mark Shimozono. 1999. “Various Representations of the Generalized Kostka Polynomials.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42j, 19 pp. (electronic). http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s42schil.pdf
* Feigin, B., and S. Loktev. 1999. “On Generalized Kostka Polynomials and the Quantum Verlinde Rule.” In Differential Topology, Infinite-Dimensional Lie Algebras, and Applications, 194:61–79. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. Providence, RI: Amer. Math. Soc.
* Kirillov, A. N. 1988. “On the Kostka-Green-Foulkes Polynomials and Clebsch-Gordan Numbers.” Journal of Geometry and Physics 5 (3): 365–389. doi:10.1016/0393-0440(88)90030-7.
* Nakayashiki, Atsushi, and Yasuhiko Yamada. 1997. “Kostka Polynomials and Energy Functions in Solvable Lattice Models.” Selecta Mathematica. New Series 3 (4): 547–599. doi:10.1007/s000290050020.
* Lascoux, Alain, and Marcel-Paul Schützenberger. 1978. “Sur Une Conjecture de H. O. Foulkes.” C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 286 (7): A323–A324.

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 ==코스트카 수==
-* [[코스트카 수 (Kostka number)]] $K_{\lambda,\mu}$
+* [[코스트카 수 (Kostka number)]] <math>K_{\lambda,\mu}</math>
-* 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 $V_{\lambda}$에서 $\mu$를 무게(weight)로 갖는 무게 공간(weight space)의 차원
+* 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 <math>V_{\lambda}</math>에서 <math>\mu</math>를 무게(weight)로 갖는 무게 공간(weight space)의 차원
-* 코스트카 수 $K_{\lambda,\mu}$는 [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] $s_{\lambda}(\mathbb{x})$ 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] $m_{\mu}(\mathbb{x})$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
+* 코스트카 수 <math>K_{\lambda,\mu}</math>는 [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] <math>s_{\lambda}(\mathbb{x})</math> 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] <math>m_{\mu}(\mathbb{x})</math>의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
-$$s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x})$$
+:<math>s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x})</math>
 ==코스트카 다항식==
-* 코스트카 다항식 $K_{\lambda,\mu}(q)$은 슈르 다항식 $s_{\lambda}(x)$과 [[홀-리틀우드(Hall-Littlewood) 대칭함수]] $P_{\mu}(x;q)$의 연결계수로서 나타난다
+* 코스트카 다항식 <math>K_{\lambda,\mu}(q)</math>은 슈르 다항식 <math>s_{\lambda}(x)</math>과 [[홀-리틀우드(Hall-Littlewood) 대칭함수]] <math>P_{\mu}(x;q)</math>의 연결계수로서 나타난다
-$$
+:<math>
 s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}(q)P_\mu(\mathbb{x};q)
-$$
+</math>
-* $K_{\lambda\mu}(1)=K_{\lambda\mu}$이 성립
+* <math>K_{\lambda\mu}(1)=K_{\lambda\mu}</math>이 성립
 ==라스꾸-슈첸베르제 (Lascoux-Schützenberger) 공식==
-* 1978년에 라스꾸와 슈첸베르제는 $K_{\lambda,\mu}(q)$가 음이 아닌 정수 계수 다항식임을 증명
+* 1978년에 라스꾸와 슈첸베르제는 <math>K_{\lambda,\mu}(q)</math>가 음이 아닌 정수 계수 다항식임을 증명
-* They proved this by showing that $K_{\lambda,\mu}(q)=\sum q^{c(T)}$, where $T$ varies over all semi-standard tableaux of shape $\lambda$ and weight $\mu$ and $c(T)$ is an integer-valued function, called the charge of the tableau $T$, which is still a mysterious object in combinatorics.
+* They proved this by showing that <math>K_{\lambda,\mu}(q)=\sum q^{c(T)}</math>, where <math>T</math> varies over all semi-standard tableaux of shape <math>\lambda</math> and weight <math>\mu</math> and <math>c(T)</math> is an integer-valued function, called the charge of the tableau <math>T</math>, which is still a mysterious object in combinatorics.
 ==테이블==
-* $n\geq d$를 가정하면, 코스트카 다항식 $K_{\lambda,\mu}(\mathbb{x})$는 $n$에 의존하지 않고, $d$에만 의존
+* <math>n\geq d</math>를 가정하면, 코스트카 다항식 <math>K_{\lambda,\mu}(\mathbb{x})</math>는 <math>n</math>에 의존하지 않고, <math>d</math>에만 의존
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	* They proved this by showing that $K_{\lambda,\mu}(q)=\sum q^{c(T)}$, where $T$ varies over all semi-standard tableaux of shape $\lambda$ and weight $\mu$ and $c(T)$ is an integer-valued function, called the charge of the tableau $T$, which is still a mysterious object in combinatorics.		* They proved this by showing that $K_{\lambda,\mu}(q)=\sum q^{c(T)}$, where $T$ varies over all semi-standard tableaux of shape $\lambda$ and weight $\mu$ and $c(T)$ is an integer-valued function, called the charge of the tableau $T$, which is still a mysterious object in combinatorics.

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		+
		+	==테이블==
		+	* $n\geq d$를 가정하면, 코스트카 다항식 $K_{\lambda,\mu}(\mathbb{x})$는 $n$에 의존하지 않고, $d$에만 의존
		+
		+
		+	===$d=1$===
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		+	\{2,2,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & q^2+q & q^6+q^5+q^4+q^3+q^2 \\
		+	\{2,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & q^4+q^3+q^2+q \\
		+	\{1,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
		+	\end{array}


	==관련된 항목들==		==관련된 항목들==
		+	* [[코스트카 수 (Kostka number)]]
		+	* [[홀-리틀우드(Hall-Littlewood) 대칭함수]]

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	s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}(q)P_\mu(\mathbb{x};q)		s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}(q)P_\mu(\mathbb{x};q)
	$$		$$
		+	* $K_{\lambda\mu}(1)=K_{\lambda\mu}$이 성립

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 ==코스트카 다항식==
-* 코스트카 다항식 $K_{\lambda,\mu}(q)$은 슈르 다항식 $s_{\lambda}(x)$과 [[홀-리틀우드(Hall-Littlewood) 대칭함수]] $P_{\mu}(x,q)$의 연결계수로서 나타난다
+* 코스트카 다항식 $K_{\lambda,\mu}(q)$은 슈르 다항식 $s_{\lambda}(x)$과 [[홀-리틀우드(Hall-Littlewood) 대칭함수]] $P_{\mu}(x;q)$의 연결계수로서 나타난다
 $$
-s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}(q)P_\mu(\mathbb{x},q)
+s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}(q)P_\mu(\mathbb{x};q)
 $$

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 ==관련논문==
 * Takeyama, Yoshihiro. “A Deformation of Affine Hecke Algebra and Integrable Stochastic Particle System.” arXiv:1407.1960 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.1960.
 * Okado, Masato, Anne Schilling, and Mark Shimozono. “A Crystal to Rigged Configuration Bijection for Nonexceptional Affine Algebras.” arXiv:math/0203163, March 15, 2002. http://arxiv.org/abs/math/0203163.

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-==introduction==
+==개요==
 * 갈고리 공식
 * 라스꾸-슈첸베르제 (Lascoux-Schützenberger) 공식
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 * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] $s_{\lambda}(\mathbb{x})$ 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] $m_{\mu}(\mathbb{x})$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
 $$s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x})$$
 ==코스트카 다항식==
@@ 15번째 줄: / 18번째 줄: @@
 s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}P_\mu(\mathbb{x},q)
 $$
 ==라스꾸-슈첸베르제 (Lascoux-Schützenberger) 공식==
-* In 1978 Lascoux and Schützenberger proved the remarkable fact that $K_{\lambda,\mu}(q)$ is a polynomial in $q$ with non-negative integer coefficients.
+* 1978년에 라스꾸와 슈첸베르제는 $K_{\lambda,\mu}(q)$가 음이 아닌 정수 계수 다항식임을 증명
 * They proved this by showing that $K_{\lambda,\mu}(q)=\sum q^{c(T)}$, where $T$ varies over all semi-standard tableaux of shape $\lambda$ and weight $\mu$ and $c(T)$ is an integer-valued function, called the charge of the tableau $T$, which is still a mysterious object in combinatorics.
-==expositions==
 * [http://www.aimath.org/WWN/kostka/ Generalized Kostka Polynomials]
 * Yamada, Yasuhiko. 1996. “Kostka Polynomials and Crystals.” Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku (962): 86–96.
@@ 34번째 줄: / 36번째 줄: @@
+==관련논문==
 * Takeyama, Yoshihiro. “A Deformation of Affine Hecke Algebra and Integrable Stochastic Particle System.” arXiv:1407.1960 [cond-Mat, Physics:math-Ph], July 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.1960.
 * Okado, Masato, Anne Schilling, and Mark Shimozono. “A Crystal to Rigged Configuration Bijection for Nonexceptional Affine Algebras.” arXiv:math/0203163, March 15, 2002. http://arxiv.org/abs/math/0203163.
@@ 44번째 줄: / 45번째 줄: @@
 * Nakayashiki, Atsushi, and Yasuhiko Yamada. 1997. “Kostka Polynomials and Energy Functions in Solvable Lattice Models.” Selecta Mathematica. New Series 3 (4): 547–599. doi:10.1007/s000290050020.
 * Lascoux, Alain, and Marcel-Paul Schützenberger. 1978. “Sur Une Conjecture de H. O. Foulkes.” C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 286 (7): A323–A324.

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