타원 모듈라 λ-함수 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 13:03에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T13:03:36Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:26:43Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 13일 (금) 06:03에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-13T06:03:26Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-04-22T07:12:31Z

2013년 8월 14일 (수) 13:08에 Pythagoras0님의 편집

2013-08-14T13:08:48Z

2013년 8월 14일 (수) 13:05에 Pythagoras0님의 편집

2013-08-14T13:05:21Z

2013년 4월 14일 (일) 15:51에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-14T15:51:29Z

2013년 4월 14일 (일) 15:44에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-14T15:44:48Z

2013년 4월 11일 (목) 21:29에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-11T21:29:08Z

Pythagoras0: /* 모듈라군에 의한 변환 */

2013-04-11T21:26:16Z

모듈라군에 의한 변환

@@ 124번째 줄: / 124번째 줄: @@
 ** 7.3.4를 참고
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6889722 Q6889722]

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123번째 줄:		123번째 줄:
	* '''[AHL1979]'''Lars Ahlfors, [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Lars-Ahlfors/dp/0070006571 Complex Analysis] , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979		* '''[AHL1979]'''Lars Ahlfors, [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Lars-Ahlfors/dp/0070006571 Complex Analysis] , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
	** 7.3.4를 참고		** 7.3.4를 참고
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q6889722 Q6889722]

@@ 16번째 줄: / 16번째 줄: @@
 :<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}</math>
 * 푸리에 전개
-$$
+:<math>
 \lambda(\tau)=16 q - 128 q^2 + 704 q^3 - 3072 q^4 + 11488 q^5 - 38400 q^6, \quad q=e^{\pi i \tau}
-$$
+</math>
@@ 57번째 줄: / 57번째 줄: @@
 (증명)
-$k=e^{\frac{2 i \pi }{3}}$로 두고, 다음과 같은 함수를 생각하자.
+<math>k=e^{\frac{2 i \pi }{3}}</math>로 두고, 다음과 같은 함수를 생각하자.
-$$
+:<math>
 (\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)(  1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}
-$$
+</math>
 모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 [[모듈라 군(modular group)]]에 의하여 불변임을 알 수 있다.
@@ 79번째 줄: / 79번째 줄: @@
 ==모듈라 다항식==
-* $P_n\bigl(16\lambda(n\tau),16\lambda(\tau)\bigr)=0$를 만족하는 다항식 $P_n(x,y)\in{\mathbb{
+* <math>P_n\bigl(16\lambda(n\tau),16\lambda(\tau)\bigr)=0</math>를 만족하는 다항식 <math>P_n(x,y)\in{\mathbb{
-Z}}[x,y]$이 존재하며, 이 때 차수는 $x,y$ 각각에 대하여 $\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)$로 주어진다
+Z}}[x,y]</math>이 존재하며, 이 때 차수는 <math>x,y</math> 각각에 대하여 <math>\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)</math>로 주어진다

@@ 116번째 줄: / 116번째 줄: @@
 ==관련논문==
 * Mirokov, V. D. 2009. “On Some Properties of a Modular Polynomial for the Lambda Function.” Rossi\uı Skaya Akademiya Nauk. Matematicheskie Zametki 86 (2): 237–255. doi:http://dx.doi.org//10.1134/S0001434609070244.
 ==관련도서==

@@ 80번째 줄: / 80번째 줄: @@
 ==모듈라 다항식==
 * $P_n\bigl(16\lambda(n\tau),16\lambda(\tau)\bigr)=0$를 만족하는 다항식 $P_n(x,y)\in{\mathbb{
-Z}}[x,y]$이 존재하며, 이 때 차수는 $x,y$ 각각에 대하여 $\Psi(n)=\prod_{p|n}(1+1/p)$로 주어진다
+Z}}[x,y]$이 존재하며, 이 때 차수는 $x,y$ 각각에 대하여 $\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)$로 주어진다

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* <math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)</math> 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨<br>
+* <math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)</math> 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
-** <math>k(\tau)</math>에 대해서는 [[타원적분의 singular value k]] 참조<br>
+** <math>k(\tau)</math>에 대해서는 [[타원적분의 singular value k]] 참조
-* 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 <math>j</math>-불변량([[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]])에 그 자리를 내줌
+* 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 <math>j</math>-불변량([[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]])에 그 자리를 내줌
-*  level 2 인 congruence [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수가 됨:<math>\Gamma(2) = \left\{  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math><br>
+*  level 2 인 congruence [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수가 됨:<math>\Gamma(2) = \left\{  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math>
-−
-−
 ==세타함수와의 관계==
@@ 14번째 줄: / 14번째 줄: @@
 * [[자코비 세타함수]]
 :<math>k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>
-:<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}</math><br>
+:<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}</math>
 * 푸리에 전개
 $$
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-−
 ==바이어슈트라스 타원함수와의 관계==
@@ 27번째 줄: / 27번째 줄: @@
 * [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]]
 :<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>
-* <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math> 로 두면, 다음을 얻는다
+* <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math> 로 두면, 다음을 얻는다
-:<math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}</math><br> 여기서 :<math>e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math><br>
+:<math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}</math> 여기서
-* <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> 네 점의 교차비로 이해할 수 있음<br>
+:<math>e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>
-* [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]] 항목 참조
+* <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> 네 점의 교차비로 이해할 수 있음
-* <math>z_4=\infty</math> 인 경우:<math>(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}</math><br>
+* [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]] 항목 참조
-−
-−
 ==모듈라군에 의한 변환==
-* [[모듈라 군(modular group)]]에 의한 변환<br>
+* [[모듈라 군(modular group)]]에 의한 변환
-*  생성원:<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
+*  생성원:<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
-* <math>T: \tau \to \tau+1</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}</math><br>
+* <math>T: \tau \to \tau+1</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}</math>
-* <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)</math><br>
+* <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)</math>
-*  따라서 [[모듈라 군(modular group)]]에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다
+*  따라서 [[모듈라 군(modular group)]]에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다
-:<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}},  1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math><br>
+:<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}},  1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math>
-*  이러한 표현은 [[교차비(cross ratio)]]에서 등장함<br>
+*  이러한 표현은 [[교차비(cross ratio)]]에서 등장함
-* <math>\Gamma/\Gamma(2)</math><br>
+* <math>\Gamma/\Gamma(2)</math>
-−
 ==타원 모듈라 j-함수와의 관계==
-* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]]<br>
+* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]]
 :<math>j(\tau)=256\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}</math>
@@ 59번째 줄: / 61번째 줄: @@
 (\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)(  1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}
 $$
-모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 [[모듈라 군(modular group)]]에 의하여 불변임을 알 수 있다.
+모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 [[모듈라 군(modular group)]]에 의하여 불변임을 알 수 있다.
-−
 ==special values==
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 <math>\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}</math>
-<math>\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})</math> 는 <math>1-\lambda+\lambda^2=0</math> 의 두 해
+<math>\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})</math> 는 <math>1-\lambda+\lambda^2=0</math> 의 두 해
+==모듈라 다항식==
 ==역사==
@@ 83번째 줄: / 87번째 줄: @@
 * [[수학사 연표]]
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 ==메모==
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 ==관련된 항목들==
@@ 103번째 줄: / 107번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVnZXY0loNjZLT00/edit
+* http://oeis.org/A115977
@@ 109번째 줄: / 113번째 줄: @@
 ==사전 형태의 자료==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_lambda_function
 ==관련도서==
-* '''[AHL1979]'''Lars Ahlfors, [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Lars-Ahlfors/dp/0070006571 Complex Analysis] , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979<br>
+* '''[AHL1979]'''Lars Ahlfors, [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Lars-Ahlfors/dp/0070006571 Complex Analysis] , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
-** 7.3.4를 참고
+** 7.3.4를 참고