파이 π는 무리수이다 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 13:04에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T13:04:44Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:26:12Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 13일 (금) 15:03에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-13T15:03:25Z

Pythagoras0: /* 메모 */

2015-03-25T09:07:49Z

메모

Pythagoras0: /* 보조정리 2 */

2015-03-22T02:26:13Z

보조정리 2

Pythagoras0: /* 귀류법을 통한 증명의 마무리 */

2015-01-24T08:27:41Z

귀류법을 통한 증명의 마무리

Pythagoras0: /* 블로그 */

2013-08-29T12:17:10Z

블로그

2013년 4월 6일 (토) 00:53에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-06T00:53:50Z

2013년 3월 14일 (목) 08:03에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-14T08:03:12Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-15T03:31:14Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

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 [[분류:무리수와 초월수]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q8777 Q8777]

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	[[분류:원주율]]		[[분류:원주율]]
	[[분류:무리수와 초월수]]		[[분류:무리수와 초월수]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q8777 Q8777]

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 ===귀류법을 통한 증명의 마무리===
-이제 $\pi$는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자.
+이제 <math>\pi</math>는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자.
 '''보조정리 3'''에 의하여,
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 ==관련논문==
-* '''[Huylebrouck2001]'''[http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)]<br>
+* '''[Huylebrouck2001]'''[http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)]
 ** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
-* [http://www.jstor.org/stable/2974737%20On%20Lambert%27s%20Proof%20of%20the%20Irrationality%20of%20%CF%80%20M.%20Laczkovich%20The%20American%20Mathematical%20Monthly%20Vol.%20104,%20No.%205%20%28May,%201997%29,%20pp.%20439-443%20Published%20by:%20Mathematical%20Association%20of%20America%20Article%20Stable%20URL:%20http://www.jstor.org/stable/2974737 On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2974737%20On%20Lambert%27s%20Proof%20of%20the%20Irrationality%20of%20%CF%80%20M.%20Laczkovich%20The%20American%20Mathematical%20Monthly%20Vol.%20104,%20No.%205%20%28May,%201997%29,%20pp.%20439-443%20Published%20by:%20Mathematical%20Association%20of%20America%20Article%20Stable%20URL:%20http://www.jstor.org/stable/2974737 On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi]
 ** M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
-* [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br>
+* [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that <math>\pi</math> is irrational]
 ** Ivan Niven,  Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.

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 * 같은 아이디어를 사용하여 [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]]를 증명할 수 있다
+* https://mattbakerblog.wordpress.com/2015/03/20/a-p-adic-proof-that-pi-is-transcendental/
 ==관련된 항목들==

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 (증명)
-부분적분. [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]] 의 보조정리4 참조. ■
+[[부분적분]]의 활용. [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]] 의 보조정리4 참조. ■
 ===보조정리 3===

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 ===귀류법을 통한 증명의 마무리===
-이제 π는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자.
+이제 $\pi$는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자.
 '''보조정리 3'''에 의하여,
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 따라서 <math>a^{n+1}I_{n}</math> 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■
 ==역사==

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	[[분류:원주율]]		[[분류:원주율]]
		+	[[분류:무리수와 초월수]]

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 ==증명==
-'''관찰'''
+===관찰===
 <math>\int_0^1 \sin \pi x\,dx = \frac{2}{\pi}</math>
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+===보조정리 1===
 다음을 만족시키는 정수 <math>a_0,a_1,\cdots,a_{n}</math> 이 존재한다.
+:<math>\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}</math>
 (증명)
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 다음 점화식이 성립한다.
+:<math>y_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{n(n-1)}{\pi^2}y_{n-2},n\geq 2,y_0=\frac{2}{\pi},y_1=\frac{1}{\pi}.</math>
 수학적귀납법에 의해 보조정리가 증명된다. ■
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-'''보조정리 2'''
+===보조정리 2===
 <math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다.
+:<math>\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx.</math>
 (증명)
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-'''보조정리 3'''
+다음을 만족시키는 정수 <math>a_0,a_1,\cdots,a_{n}</math> 이 존재한다
-다음을 만족시키는 정수 <math>a_0,a_1,\cdots,a_{n}</math> 이 존재한다 :<math>\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}</math>
+<math>P_{n}(x)</math>는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, '''보조정리 1''' 에 의하여 증명된다. ■
+===귀류법을 통한 증명의 마무리===
 이제 π는 무리수, 즉 <math>\pi=a/b</math> 이라고 가정하자.
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 '''보조정리 3'''에 의하여,
-<math>I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{b(a_na^{n}+a_{n-1}ba^{n-1}+\cdots+a_0b^{n})}{a^{n+1}}</math>
+:<math>I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{b(a_na^{n}+a_{n-1}ba^{n-1}+\cdots+a_0b^{n})}{a^{n+1}}</math>
 는 0이 아닌 유리수가 된다. 따라서 <math>a^{n+1}I_{n}</math> 는 자연수이다.
 '''보조정리 2'''에 의하여,
+:<math>0<|a^{n+1}I_{n}|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|</math>
 구간 <math>[0,1]</math>에서 <math>x(1-x)</math>의  최대값은 <math>1/4</math>이므로,
+:<math>|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}\frac{\pi^{n}}{4^n}|=|\frac{a}{n!}(\frac{a\pi}{4})^n|</math> 이다.
 n이 커지면 우변은 0으로 수렴한다.
 따라서 <math>a^{n+1}I_{n}</math> 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■
 ==역사==
@@ 139번째 줄: / 134번째 줄: @@
@@ 173번째 줄: / 154번째 줄: @@
 * [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br>
 ** Ivan Niven,  Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
@@ 183번째 줄: / 160번째 줄: @@
 ==블로그==
-* [http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/%CF%80%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%84%B1-%EC%A6%9D%EB%AA%85/ ][http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/%CF%80%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%84%B1-%EC%A6%9D%EB%AA%85/ http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/π원주율의-무리수성-증명/] 내 백과사전, 2010-3-7
+* [http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/%CF%80%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%84%B1-%EC%A6%9D%EB%AA%85/ http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/π원주율의-무리수성-증명/] 내 백과사전, 2010-3-7
 [[분류:원주율]]

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184번째 줄:		184번째 줄:

	* [http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/%CF%80%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%84%B1-%EC%A6%9D%EB%AA%85/ ][http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/%CF%80%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%84%B1-%EC%A6%9D%EB%AA%85/ http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/π원주율의-무리수성-증명/] 내 백과사전, 2010-3-7		* [http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/%CF%80%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%84%B1-%EC%A6%9D%EB%AA%85/ ][http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/%CF%80%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98-%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%88%98%EC%84%B1-%EC%A6%9D%EB%AA%85/ http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/π원주율의-무리수성-증명/] 내 백과사전, 2010-3-7
		+	[[분류:원주율]]

@@ 120번째 줄: / 120번째 줄: @@
 * 1882 - 린데만이 [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수]]임을 증명하고 따라서 원이 자와 컴파스로 작도 불가능함을 증명
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]