포드 원 (Ford Circles) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 13:06에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T13:06:13Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:25:56Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 12일 (목) 08:49에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T08:49:23Z

Pythagoras0: /* 관찰 */

2015-11-28T04:28:21Z

관찰

2015년 11월 28일 (토) 04:27에 Pythagoras0님의 편집

2015-11-28T04:27:35Z

Pythagoras0: /* 관찰의 증명 */

2015-11-28T04:19:37Z

관찰의 증명

Pythagoras0: /* 매스매티카 파일 및 계산 리소스 */

2015-11-28T04:00:45Z

매스매티카 파일 및 계산 리소스

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-08-04T13:11:29Z

2014년 7월 6일 (일) 12:40에 Pythagoras0님의 편집

2014-07-06T12:40:43Z

Pythagoras0: /* 관찰의 증명 */

2012-10-21T12:29:06Z

관찰의 증명

@@ 100번째 줄: / 100번째 줄: @@
 * [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1436714 Q1436714]

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	* Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908.		* Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908.
	* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601		* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1436714 Q1436714]

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 <math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}
-$$
+</math>
 여기서,

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 ** <math>\frac58, \frac23</math>
 ** <math>\frac58, \frac{7}{11}</math>
-** <math>10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1</math>
+* 서로 접하는 세 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까
 ** <math>\frac35, \frac58 , \frac23</math>
 ** <math>\frac35, \frac{8}{13} , \frac58</math>
 ** <math>\frac58, \frac{7}{11} , \frac23</math>
 ** <math>\frac47, \frac{7}{12} , \frac35</math>
-* 서로 접하는 세 원의 중심의 <math>x</math> 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) [[패리 수열(Farey series)]]를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?
+* [[패리 수열(Farey series)]]
 ==관찰의 증명==

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
+* <math>p,q</math>가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 <math>(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})</math> 이고, 반지름이 <math>\frac{1}{2q^2}</math>인 원을 포드 원이라 함
+* <math>x</math>-축에 접한다
 [[파일:포드 원 (Ford Circles)1.gif]]
 ==관찰==
+* 위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 <math>x</math> 좌표이다.)
-위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 <math>x</math> 좌표이다.)
+* <math>p,q</math>가 서로소인 자연수이므로, 원 중심의 <math>x</math> 좌표들은 기약분수이다.
+* 서로 다른 두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
 * 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
 ** <math>\frac35 , \frac23</math>
-* <math>p,q</math>가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 <math>x</math> 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
+** <math>\frac35 , \frac58</math>
-* 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.
+** <math>\frac58, \frac23</math>
-*  접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
+** <math>\frac58, \frac{7}{11}</math>
 ** <math>10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1</math>
-*  서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
+* 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?
-** <math>\frac35, \frac58 , \frac23</math>      <math>\frac35, \frac{8}{13} , \frac58</math>      <math>\frac58, \frac{7}{11} , \frac23</math>      <math>\frac47, \frac{7}{12} , \frac35</math>
+** <math>\frac35, \frac58 , \frac23</math>
-** 뭔가 발견했는가?
+** <math>\frac35, \frac{8}{13} , \frac58</math>
+** <math>\frac58, \frac{7}{11} , \frac23</math>
-이제 [[패리 수열(Farey series)|Farey series]] 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)
+** <math>\frac47, \frac{7}{12} , \frac35</math>
+* 서로 접하는 세 원의 중심의 <math>x</math> 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) [[패리 수열(Farey series)]]를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?
@@ 80번째 줄: / 65번째 줄: @@
 . Farey Series 와의 관계
 ==관련된 항목들==
-* [[패리 수열(Farey series)|Farey series]]
+* [[패리 수열(Farey series)]]
-* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli|The modular group, j-invariant and the singular moduli]]
+* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]]
-** [[모듈라 군(modular group)|modular group]]
+* [[모듈라 군(modular group)]]
 * [[연분수와 유리수 근사]]
@@ 102번째 줄: / 91번째 줄: @@
 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
-* [[3210238/attachments/1980825|Ford_Circle.pdf]], 애기똥풀
+* 애기똥풀, [[파일:3210238-Ford Circle.pdf]]
 * 이광연, [http://navercast.naver.com/science/math/1049 바보셈에서 페리수열], 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일
 ==관련논문==
 * Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908.
 * [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601

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 ==관찰의 증명==
-# 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.
+;정리
-Proof.
+;증명
 아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 원이고, 원 B 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>P/Q</math> 인 원이다. (<math>p,q, P, Q</math> 는 자연수, <math>gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1</math>)
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 위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,
-<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 <math>\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2}</math> 를 얻는다. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28P%2FQ+-+p%2Fq%29%5E2+%2B+%281%2F%282+Q%5E2%29+-+1%2F%282+q%5E2%29%29%5E2+-+%281%2F%282+q%5E2%29+%2B+1%2F%282+Q%5E2%29%29%5E2+%2F%2F+FullSimplify )
+<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 다음이 성립한다
 여기서,
@@ 60번째 줄: / 63번째 줄: @@
 i.  <math>|Pq -pQ|> 1</math> 이면, <math>\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.
-ii.  <math>|Pq -pQ|= 1</math> 이면, <math>\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조)
+ii.  <math>|Pq -pQ|= 1</math> 이면, <math>\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 접한다.
 iii. <math>|Pq -pQ| <1</math> 일 수는 없다.
@@ 66번째 줄: / 69번째 줄: @@
 왜냐하면, <math>p,q, P, Q</math> 는 자연수이므로 <math>Pq -pQ = 0</math> 이면, <math>p/q \ne P/Q</math> 에 모순이기 때문이다.
-위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다.
+위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■
-접하는 두 포드 원 <math>C[b/a]</math> 과 <math>C[d/c]</math> 가 있으면, <math>|ad - bc| = 1</math> 이다.
+;정리
-Proof.
+;증명
-관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.
+관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.  ■
 . Farey Series 와의 관계

@@ 95번째 줄: / 95번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
-* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU5NDhlZGMtYWU5MS00YThiLWFiZjEtNjk4N2FmZWI5ZmQy&sort=name&layout=list&num=50
+* https://drive.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNmU5NDhlZGMtYWU5MS00YThiLWFiZjEtNjk4N2FmZWI5ZmQy/view
+* http://mathematica.stackexchange.com/questions/100628/wiggly-and-imprecise-animated-gif-output
 ==사전형태의 자료==

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116번째 줄:		116번째 줄:

	==관련논문==		==관련논문==
		+	* Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908.
	* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601		* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] L. R. Ford, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601

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 아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 원이고, 원 B 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>P/Q</math> 인 원이다. (<math>p,q, P, Q</math> 는 자연수, <math>gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1</math>)
-[/pages/3210238/attachments/2009497 fig1.jpg]
+[[파일:포드 원 (Ford Circles)3.gif]]
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 . Farey Series 와의 관계
 ==관련된 항목들==