후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 10:31에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-07-15T13:47:11Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-06-03T02:21:16Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2014-12-09T12:22:10Z

2014년 8월 1일 (금) 07:33에 Pythagoras0님의 편집

2014-08-01T07:33:15Z

2014년 7월 13일 (일) 23:31에 Pythagoras0님의 편집

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2014년 7월 13일 (일) 23:27에 Pythagoras0님의 편집

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2014년 7월 13일 (일) 03:26에 Pythagoras0님의 편집

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차이 보기

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

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찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

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 [[분류:정수론]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1638777 Q1638777]

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	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1638777 Q1638777]

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 ==관련논문==
 * Szabłowski, Paweł J. “A Few Remarks on Values of Hurwitz Zeta Function at Natural and Rational Arguments.” arXiv:1405.6270 [math], May 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.6270.
 * Chatterjee, Tapas, and Sanoli Gun. “On the Zeros of Generalized Hurwitz Zeta Functions.” arXiv:1407.8319 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8319.

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		+
		+	==리뷰, 에세이, 강의노트==
		+	* Oswald, Nicola M. R., and Jörn Steuding. ‘Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz’. arXiv:1506.00856 [math], 2 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.00856.
		+
		+

	==관련논문==		==관련논문==

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 ==관련논문==
 * Chatterjee, Tapas, and Sanoli Gun. “On the Zeros of Generalized Hurwitz Zeta Functions.” arXiv:1407.8319 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8319.
 * [http://www.springerlink.com/content/wql8d40h20jljxp2/ On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 1]

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 ==개요==
 * 후르비츠 제타함수를 다음과 같이 정의
-<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
+:<math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
 * <math>a=1</math> 인 경우, [[리만제타함수]]가 됨
 * <math>a=q/p</math> 인 경우,

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 ==개요==
+* 후르비츠 제타함수를 다음과 같이 정의
 <math>\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^{s}}</math>
+* <math>a=1</math> 인 경우, [[리만제타함수]]가 됨
-<math>a=1</math> 인 경우, [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]가 됨
+* <math>a=q/p</math> 인 경우,
+:<math>\zeta(s,q/p) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q/p)^{s}}= \sum_{n=0}^\infty  \frac{p^s}{(pn+q)^s}</math>
 ==덧셈공식==
+* 다음이 성립한다
-<math>k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)</math>
+:<math>k^s\,\zeta(s,kz)= \sum_{n=0}^{k-1}\zeta\left(s,z+\frac{n}{k}\right)</math>
 ==디리클레 L-함수와의 관계==
+* <math>\chi</math>가 주기가 <math>p</math>인 [[디리클레 지표]]라고 하면, [[디리클레 L-함수]]를 다음과 같이 쓸 수 있다
-<math>\chi</math>가 주기가 <math>p</math>인 디리클레 캐릭터라고 하면
+:<math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math>
+* 가령 <math>\chi</math>가 <math>\chi(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면
-<math>L(s,\chi)= \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=\frac {1}{p^s} \sum_{q=1}^p \chi(q)\; \zeta \left(s,\frac{q}{p}\right)</math>
+:<math>L(s,\chi) =4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math>
+==에르미트의 적분표현 ==
+* <math>\operatorname{Re} a > 0 </math> 일 때,
-==Hermite의 적분표현 ==
+:<math>\zeta(s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{a^{1-s}}{s-1}+2\int_0^{\infty}\frac{\sin[s\tan^{-1}(t/a)]}{(a^2+t^2)^{s/2}}\frac{dt}{e^{2\pi t} -1}</math>
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 ;정리 (Lerch)
 다음이 성립한다
-:<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>
+:<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\label{her}</math>
 ;증명
-위에 있는 Hermite의 표현과 [[감마함수]]의 Binet's second expression 을 이용■
+위에 있는 에르미트의 적분표현 \ref{her}과 [[감마함수]]의 Binet's second expression 을 이용■
 ==베르누이 다항식과의 관계==
+* 정수 <math>n\geq 0</math>에 대하여 <math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math>
-정수 <math>n\geq 0</math>에 대하여 <math>\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}</math>
+* 특히, <math>n=0</math>이면 <math>\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x</math>
 * [[베르누이 다항식]]
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 ==관련된 항목들==
+* [[디리클레 L-함수의 미분]]
 * [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)]]
 * [[감마함수]]

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	==역사==		==역사==

−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]