4차 상호법칙 - 편집 역사

2020년 11월 14일 (토) 00:39에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-14T00:39:29Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-11-23T07:22:39Z

Pythagoras0: /* 매스매티카 파일 및 계산 리소스 */

2015-11-23T05:43:01Z

매스매티카 파일 및 계산 리소스

2014년 1월 19일 (일) 09:49에 Pythagoras0님의 편집

2014-01-19T09:49:29Z

2014년 1월 19일 (일) 01:06에 Pythagoras0님의 편집

2014-01-19T01:06:52Z

Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 4차의 정수계수 다항식 $f(x)$ 를 $\pmod p$ 로 분해할 때 나타나는 현상의 이해 ==4차 상호법칙== ===거듭제곱 잉여 부...

2014-01-17T12:19:24Z

새 문서: ==개요== * 4차의 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 분해할 때 나타나는 현상의 이해 ==4차 상호법칙== ===거듭제곱 잉여 부...

새 문서

==개요==
* 4차의 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 분해할 때 나타나는 현상의 이해

==4차 상호법칙==
===거듭제곱 잉여 부호===
* [[거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙]] 항목 참조

===용어와 기호===
* $i=\sqrt{-1}$
* $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$이면, $\alpha$를 primary라고 부른다
** 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치

===상호법칙===

;정리
* $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]$가 서로소이고 primary라 하자.
:<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. </math>
다음과 같은 보조 법칙이 성립한다
:<math>
\Bigg(\frac{i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{1-a}{4},\;\;\;
\Bigg(\frac{1+i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{a-b-b^2-1}{4},\;\;\;
\Bigg(\frac{2}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{b}{2}.
</math>

==테이블==
* 다음 표의 $\{a,b\}$는 $\mathbb{Z}[i]$의 원소 $a+bi$를 나타냄
* 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
* 서로 소인 소 아이디얼 $x,y$에 대한 $\left(\frac{y}{x}\right)_4$의 값
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x\ddots y & \{-3,0\} & \{-1,-2\} & \{-1,2\} & \{-7,0\} & \{-11,0\} & \{3,-2\} & \{3,2\} & \{1,-4\} & \{1,4\} & \{-19,0\} \\ \hline
\{-3,0\} & & i & -i & 1 & 1 & -1 & -1 & i & -i & 1 \\ \hline
\{-1,-2\} & i & & & -i & -1 & 1 & -i & -i & -1 & 1 \\ \hline
\{-1,2\} & -i & & & i & -1 & i & 1 & -1 & i & 1 \\ \hline
\{-7,0\} & 1 & -i & i & & 1 & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline
\{-11,0\} & 1 & -1 & -1 & 1 & & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline
\{3,-2\} & -1 & -1 & -i & i & i & & & -i & -i & -i \\ \hline
\{3,2\} & -1 & i & -1 & -i & -i & & & i & i & i \\ \hline
\{1,-4\} & i & -i & -1 & -i & -i & -i & i & & & -1 \\ \hline
\{1,4\} & -i & -1 & i & i & i & -i & i & & & -1 \\ \hline
\{-19,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 &
\end{array}
$$

==관련된 항목들==
* [[가우스 정수]]

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOHZsQ2VrS1lEemc/edit?pli=1

[[분류:정수론]]

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 ===용어와 기호===
-* $i=\sqrt{-1}$
+* <math>i=\sqrt{-1}</math>
-* $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$를 만족하면, $\alpha$를 primary라고 부른다
+* <math>\alpha\in \mathbb{Z}[i]</math>가 <math>\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i</math>를 만족하면, <math>\alpha</math>를 primary라고 부른다
-** 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치
+** 이는 <math>\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4</math>와 동치
-* $N\alpha=a^2+b^2$
+* <math>N\alpha=a^2+b^2</math>
@@ 18번째 줄: / 18번째 줄: @@
 ;정리
-* $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]$가 서로소이고 primary라 하자.
+* <math>\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]</math>가 서로소이고 primary라 하자.
 :<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. </math>
 다음과 같은 보조 법칙이 성립한다
@@ 29번째 줄: / 29번째 줄: @@
 ==테이블==
-* 다음 표의 $(a,b)$는 $a+bi\in \mathbb{Z}[i]$를 나타냄
+* 다음 표의 <math>(a,b)</math>는 <math>a+bi\in \mathbb{Z}[i]</math>를 나타냄
 * 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
-* 서로 소인 소수 $x,y\in \mathbb{Z}[i]$에 대한 $\left(\frac{y}{x}\right)_4$의 값
+* 서로 소인 소수 <math>x,y\in \mathbb{Z}[i]</math>에 대한 <math>\left(\frac{y}{x}\right)_4</math>의 값
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\
@@ 46번째 줄: / 46번째 줄: @@
   \hline (-19,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 &  \\
   \hline\end{array}
-$$
+</math>

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 ==관련논문==
 * Watabe, Mutsuo. “An Arithmetical Application of Elliptic Functions to the Theory of Biquadratic Residues.” Abhandlungen Aus Dem Mathematischen Seminar Der Universität Hamburg 49, no. 1 (May 1979): 118–25. doi:10.1007/BF02950652.
 [[분류:정수론]]

@@ 56번째 줄: / 56번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOHZsQ2VrS1lEemc/edit?pli=1
 [[분류:정수론]]

@@ 12번째 줄: / 12번째 줄: @@
 * $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$이면, $\alpha$를 primary라고 부른다
 ** 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치
@@ 28번째 줄: / 29번째 줄: @@
 ==테이블==
-* 다음 표의 $\{a,b\}$는 $\mathbb{Z}[i]$의 원소 $a+bi$를 나타냄
+* 다음 표의 $(a,b)$는 $a+bi\in \mathbb{Z}[i]$의 원소를 나타냄
 * 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
-* 서로 소인 소 아이디얼 $x,y$에 대한 $\left(\frac{y}{x}\right)_4$의 값
+* 서로 소인 소수 $x,y\in \mathbb{Z}[i]$에 대한 $\left(\frac{y}{x}\right)_4$의 값
 $$
-\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
+\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
-  x\ddots y & \{-3,0\} & \{-1,-2\} & \{-1,2\} & \{-7,0\} & \{-11,0\} & \{3,-2\} & \{3,2\} & \{1,-4\} & \{1,4\} & \{-19,0\} \\ \hline
+  x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\
-  \{-3,0\} &  & i & -i & 1 & 1 & -1 & -1 & i & -i & 1 \\ \hline
+  \hline (-3,0) &  & i & -i & 1 & 1 & -1 & -1 & i & -i & 1 \\
-  \{-1,-2\} & i &  &  & -i & -1 & 1 & -i & -i & -1 & 1 \\ \hline
+  \hline (-1,-2) & i &  & i & -i & -1 & 1 & -i & -i & -1 & 1 \\
-  \{-1,2\} & -i &  &  & i & -1 & i & 1 & -1 & i & 1 \\ \hline
+  \hline (-1,2) & -i & -i &  & i & -1 & i & 1 & -1 & i & 1 \\
-  \{-7,0\} & 1 & -i & i &  & 1 & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline
+  \hline (-7,0) & 1 & -i & i &  & 1 & i & -i & -i & i & 1 \\
-  \{-11,0\} & 1 & -1 & -1 & 1 &  & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline
+  \hline (-11,0) & 1 & -1 & -1 & 1 &  & i & -i & -i & i & 1 \\
-  \{3,-2\} & -1 & -1 & -i & i & i &  &  & -i & -i & -i \\ \hline
+  \hline (3,-2) & -1 & -1 & -i & i & i &  & -i & -i & -i & -i \\
-  \{3,2\} & -1 & i & -1 & -i & -i &  &  & i & i & i \\ \hline
+  \hline (3,2) & -1 & i & -1 & -i & -i & i &  & i & i & i \\
-  \{1,-4\} & i & -i & -1 & -i & -i & -i & i &  &  & -1 \\ \hline
+  \hline (1,-4) & i & -i & -1 & -i & -i & -i & i &  & -1 & -1 \\
-  \{1,4\} & -i & -1 & i & i & i & -i & i &  &  & -1 \\ \hline
+  \hline (1,4) & -i & -1 & i & i & i & -i & i & -1 &  & -1 \\
-  \{-19,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 &
+  \hline (-19,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 &  \\
-\end{array}
+ \hline\end{array}
 $$
@@ 50번째 줄: / 51번째 줄: @@
 ==관련된 항목들==
 * [[가우스 정수]]
+* [[3차 상호법칙]]