Chowla-셀베르그 공식 - 편집 역사

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

2020년 11월 13일 (금) 04:57에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-13T04:57:36Z

Pythagoras0: /* 관련도서 */

2015-06-17T08:00:28Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-03-30T05:55:36Z

Pythagoras0: /* 리뷰, 에세이, 강의노트 */

2014-07-24T04:10:11Z

리뷰, 에세이, 강의노트

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2014-07-24T04:08:16Z

2014년 7월 24일 (목) 03:07에 Pythagoras0님의 편집

2014-07-24T03:07:03Z

2014년 7월 15일 (화) 15:51에 Pythagoras0님의 편집

2014-07-15T15:51:37Z

Pythagoras0: /* 증명의 아이디어 */

2014-07-13T05:13:20Z

증명의 아이디어

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 [[분류:정수론]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q3077611 Q3077611]

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	[[분류:타원적분]]		[[분류:타원적분]]
	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q3077611 Q3077611]

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 ==개요==
-* 복소이차수체 $F$에 대하여, $\mathcal{O}_{F}$에 의한 [[Complex multiplication]]을 갖는 [[타원곡선의 주기]]를 [[감마함수]]의 값을 이용하여 표현
+* 복소이차수체 <math>F</math>에 대하여, <math>\mathcal{O}_{F}</math>에 의한 [[Complex multiplication]]을 갖는 [[타원곡선의 주기]]를 [[감마함수]]의 값을 이용하여 표현
 * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]의 어떤 값을 감마함수로 표현하는 공식으로 나타난다
 * [[엡슈타인 제타함수]]에 대한 공식
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 ==엡슈타인 제타함수==
-* 양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 [[엡슈타인 제타함수]] $\zeta_Q$를 다음과 같이 정의
+* 양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 [[엡슈타인 제타함수]] <math>\zeta_Q</math>를 다음과 같이 정의
 :<math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math>
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 ==Chowla-셀베르그의 정리==
 ;정리
-$k$에 대하여, 다음의 값
+<math>k</math>에 대하여, 다음의 값
 :<math>i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 이 <math>d_F</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 :<math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}</math> 여기서 <math>\lambda</math>는 적당한 [[대수적수론|대수적수]].
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 *  소수 p에 대하여, 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 [[수체의 class number|class number]] 가 1인 경우, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 :<math>\frac{2K(k)}{\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{w_{F}/4}</math>
-여기서 $k$는 <math>\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}</math>의 해이고, $k'=\sqrt{1-k^2}$.
+여기서 <math>k</math>는 <math>\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}</math>의 해이고, <math>k'=\sqrt{1-k^2}</math>.
 ===예===
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 ==증명의 아이디어==
-* 복소 이차 수체 $K$의 데데킨트 제타함수 $\zeta_K(s)$의 $s=1$에서의 행동을 이해하여 얻어진다
+* 복소 이차 수체 <math>K</math>의 데데킨트 제타함수 <math>\zeta_K(s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 행동을 이해하여 얻어진다
 * <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>
-* [[디리클레 L-함수]] $L(s, \chi)$
+* [[디리클레 L-함수]] <math>L(s, \chi)</math>
-* $\zeta_K(s)$는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조)
+* <math>\zeta_K(s)</math>는 다음과 같이 분해된다 ([[이차 수체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조)
 :<math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(s,\chi)</math>
-* $s=1$에서 다음이 성립한다
+* <math>s=1</math>에서 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \begin{align}
 \zeta(s)&=\frac{1}{s-1}+\gamma+\cdots \\
 L(s,\chi)&=(\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}})+\left(\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\right)(s-1)+\cdots
 \end{align}
-$$
+</math>
 * 따라서
-$$
+:<math>
 \zeta_{K}(s)=\frac{2 \pi  h_K}{(s-1) w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+\frac{4 \pi  \gamma  h_K+2 \pi  \log (2 \pi ) h_K-\pi  w_K \sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})}{w_K \sqrt{\left|d_K\right|}}+O(s-1)+\cdots
-$$
+</math>
-* 한편, $\zeta_K(s)$는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다
+* 한편, <math>\zeta_K(s)</math>는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여진다
 :<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)</math>
-* $K$가 복소 이차 수체일 때, $\zeta_{K}(s,A)$는 [[엡슈타인 제타함수]]가 되며, $s=1$에서의 행동은 [[크로네커 극한 공식]]으로 기술할 수 있다
+* <math>K</math>가 복소 이차 수체일 때, <math>\zeta_{K}(s,A)</math>는 [[엡슈타인 제타함수]]가 되며, <math>s=1</math>에서의 행동은 [[크로네커 극한 공식]]으로 기술할 수 있다
-* 이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 $\zeta_{K}(s)$의 $s=1$에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다
+* 이렇게 두 가지 방법으로 얻어진 <math>\zeta_{K}(s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 로랑전개의 상수항을 비교한다
 ==메모==
@@ 112번째 줄: / 112번째 줄: @@
 * Muzaffar, Habib, and Kenneth S. Williams. [http://journal.taiwanmathsoc.org.tw/index.php/TJM/article/viewFile/977/818 Evaluation of complete elliptic integrals of the first kind at singular moduli] Taiwanese Journal of Mathematics 10, no. 6 (2006): pp-1633.
 * Van der Poorten, Alfred, and Kenneth S. Williams. 1999. “Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 51 (1): 176–224. doi:10.4153/CJM-1999-011-1.
-* Anderson, G. W. (1982). [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1982__45_3/CM_1982__45_3_315_0/CM_1982__45_3_315_0.pdf Logarithmic derivatives of Dirichlet $ L $-functions and the periods of abelian varieties]. Compositio Mathematica, 45(3), 315-332.
+* Anderson, G. W. (1982). [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1982__45_3/CM_1982__45_3_315_0/CM_1982__45_3_315_0.pdf Logarithmic derivatives of Dirichlet <math> L </math>-functions and the periods of abelian varieties]. Compositio Mathematica, 45(3), 315-332.
 * Benedict H. Gross [http://dx.doi.org/10.1007/BF01390273 On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg], Inventiones Mathematicae, Volume 45, Number 2 / 1978년 6월
 * S. Chowla; A. Selberg, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function], J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967

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122번째 줄:		122번째 줄:
	* [http://books.google.com/books?id=voR95sDdb_MC Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker] A.Weil, Springer, 1998		* [http://books.google.com/books?id=voR95sDdb_MC Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker] A.Weil, Springer, 1998
	[[분류:타원적분]]		[[분류:타원적분]]
		+	[[분류:정수론]]

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 ==관련논문==
 * Obus, Andrew. 2013. “On Colmez’s Product Formula for Periods of CM-Abelian Varieties.” Mathematische Annalen 356 (2): 401–18. doi:10.1007/s00208-012-0855-4.
 * Yang, T. (2010). The Chowla-Selberg formula and the Colmez conjecture. Canad. J. Math, 62(2), 456-472. http://www.math.wisc.edu/~thyang/ColmezConjectureFinal2010.pdf

@@ 100번째 줄: / 100번째 줄: @@
 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
 * http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
 * [http://dx.doi.org/10.1090%2FS0273-0979-08-01223-8 The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics]
 ** Baas, Nils A.; Skau, Christian F. (2008), Bull. Amer. Math. Soc. 45: 617–649,
 ** Interview with Selberg
 ==관련논문==

@@ 116번째 줄: / 116번째 줄: @@
 * S. Chowla and A. Selberg [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)] Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
 * Max F. Deuring [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function], The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
+* M. Lerch, Sur quelques formules relatives du nombre des classes , Bull. Sci.Math. 21 (1897) 290-304
 ==관련도서==
 * [http://books.google.com/books?id=voR95sDdb_MC Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker] A.Weil, Springer, 1998
 [[분류:타원적분]]

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71번째 줄:		71번째 줄:

	* p-adic case Gross-Koblitz form		* p-adic case Gross-Koblitz form
−		+	* Koyama, Shin-ya, and Nobushige Kurokawa. "Kummer's formula for multiple gamma functions." JOURNAL-RAMANUJAN MATHEMATICAL SOCIETY 18.1 (2003): 87-107. http://www.math.titech.ac.jp/~tosho/Preprints/pdf/128.pdf

@@ 2번째 줄: / 2번째 줄: @@
 * 복소이차수체 $F$에 대하여, $\mathcal{O}_{F}$에 의한 [[Complex multiplication]]을 갖는 [[타원곡선의 주기]]를 [[감마함수]]의 값을 이용하여 표현
 * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]의 어떤 값을 감마함수로 표현하는 공식으로 나타난다
-* [[Epstein 제타함수]]에 대한 공식
+* [[엡슈타인 제타함수]]에 대한 공식
 * CM 아벨 다양체의 [[주기 (period)]]에 대한 문제로 일반화
-==Epstein 제타함수==
+==엡슈타인 제타함수==
-* [[Epstein 제타함수]]
+* 양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 [[엡슈타인 제타함수]] $\zeta_Q$를 다음과 같이 정의
 :<math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math>
@@ 80번째 줄: / 79번째 줄: @@
 * [[디리클레 L-함수의 미분]]
 * [[데데킨트 에타함수]]
-* [[Epstein 제타함수]]
+* [[엡슈타인 제타함수]]
 * [[크로네커 극한 공식]]
 * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]