P진 해석학(p-adic analysis) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 11:50에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T11:50:54Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:48:50Z

메타데이터: 새 문단

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2020-11-16T11:54:58Z

Pythagoras0: /* p-adic 절대값 */

2020-11-12T09:26:42Z

p-adic 절대값

2020년 11월 12일 (목) 09:24에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T09:24:29Z

Pythagoras0: /* 리뷰, 에세이, 강의노트 */

2015-08-07T07:26:12Z

리뷰, 에세이, 강의노트

Pythagoras0: /* 역사 */

2014-12-03T12:42:14Z

역사

2014년 7월 12일 (토) 14:29에 Pythagoras0님의 편집

2014-07-12T14:29:47Z

2014년 7월 12일 (토) 14:17에 Pythagoras0님의 편집

2014-07-12T14:17:40Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2014-07-12T13:26:10Z

@@ 147번째 줄: / 147번째 줄: @@
 * Errthum, Eric. “A Division Algorithm Approach to <math>p</math>-Adic Sylvester Expansions.” arXiv:1508.01503 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01503.
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q311627 Q311627]

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146번째 줄:		146번째 줄:
	==관련논문==		==관련논문==
	* Errthum, Eric. “A Division Algorithm Approach to <math>p</math>-Adic Sylvester Expansions.” arXiv:1508.01503 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01503.		* Errthum, Eric. “A Division Algorithm Approach to <math>p</math>-Adic Sylvester Expansions.” arXiv:1508.01503 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01503.
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q311627 Q311627]

@@ 23번째 줄: / 23번째 줄: @@
 |x|_{p} =
 \begin{cases}
-  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$} \\
+  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if <math>x\neq 0</math>} \\
-, & \text{if $x=0$} \\
+, & \text{if <math>x=0</math>} \\
 \end{cases}
 </math>

@@ 23번째 줄: / 23번째 줄: @@
 |x|_{p} =
 \begin{cases}
-  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if </math>x\neq 0<math>;}\\
+  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$} \\
-, & \text{if </math>x=0<math>} \\
+, & \text{if $x=0$} \\
 \end{cases}
 </math>
@@ 30번째 줄: / 30번째 줄: @@
 # <math>|x|_{p}=0 \iff x=0</math>
 # <math>|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}</math>
 # <math>|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}</math> 뿐만 아니라, <math>|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}</math>가 성립한다.
 ==유리수의 p진 전개==

@@ 17번째 줄: / 17번째 줄: @@
 # <math>|x+y|\leq |x|+|y|</math> (삼각부등식)
 ===p-adic 절대값===
-* 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
+* 소수 <math>p</math>와 정수 <math>x</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}_p x</math>를 <math>a\equiv 0\pmod {p^m}</math>을 만족하는 최대의 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>으로 정의하자
-* 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
+* 유리수 <math>x=a/b</math>에 대해서는 <math>\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b</math>
-* 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자
+* 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 함수 <math>|\cdot|_p</math>를 다음과 같이 정의하자
-$$
+:<math>
 |x|_{p} =
 \begin{cases}
-  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$;}\\
+  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if </math>x\neq 0<math>;}\\
-, & \text{if $x=0$} \\
+, & \text{if </math>x=0<math>} \\
 \end{cases}
-$$
+</math>
-* $|\cdot|_p$는 다음의 성질을 만족한다
+* <math>|\cdot|_p</math>는 다음의 성질을 만족한다
 # <math>|x|_{p}=0 \iff x=0</math>
 # <math>|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}</math>
@@ 63번째 줄: / 63번째 줄: @@
 ==하 측도 (Haar measure)==
-* $(\mathbb{Q}_p,+)$는 국소컴팩트 군이며 하 측도를 가진다
+* <math>(\mathbb{Q}_p,+)</math>는 국소컴팩트 군이며 하 측도를 가진다
-* 하 측도 $\mu=dx$가 $\mu(\mathbb{Z}_p)=1$이 되도록 선택할 수 있다
+* 하 측도 <math>\mu=dx</math>가 <math>\mu(\mathbb{Z}_p)=1</math>이 되도록 선택할 수 있다
-* 임의의 측도가능집합 $A$와 $a\in \mathbb{Q}_p$에 대하여 $\mu(x A)=|x|_p \mu(A)$가 성립한다
+* 임의의 측도가능집합 <math>A</math>와 <math>a\in \mathbb{Q}_p</math>에 대하여 <math>\mu(x A)=|x|_p \mu(A)</math>가 성립한다
-* 측도 $\frac{dx}{|x|_p}$는 $(\mathbb{Q}_p^{\times},\times)$에 정의되는 하 측도이다
+* 측도 <math>\frac{dx}{|x|_p}</math>는 <math>(\mathbb{Q}_p^{\times},\times)</math>에 정의되는 하 측도이다
 * 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \operatorname{vol}_{\frac{dx}{|x|_p}}(\mathbb{Z}_p^{\times})=\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}\frac{dx}{|x|_p}=\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}\,dx=\operatorname{vol}_{dx}(\mathbb{Z}_p^{\times})
-$$
+</math>
-여기에 $\mathbb{Z}_p^{\times}=\cup_{a\neq 0 \mod p} (a+p\mathbb{Z}_p)$을 이용하면,
+여기에 <math>\mathbb{Z}_p^{\times}=\cup_{a\neq 0 \mod p} (a+p\mathbb{Z}_p)</math>을 이용하면,
-$$
+:<math>
 \operatorname{vol}_{dx}(\mathbb{Z}_p^{\times})=(p-1)\operatorname{vol}_{dx}(p\mathbb{Z}_p)=\frac{p-1}{p}
-$$
+</math>
-* 따라서 측도 $d^{\times}x:=\frac{p}{p-1}\frac{dx}{|x|_p}$는 $\operatorname{vol}_{d^{\times}x}(\mathbb{Z}_p^{\times})=1$을 만족한다
+* 따라서 측도 <math>d^{\times}x:=\frac{p}{p-1}\frac{dx}{|x|_p}</math>는 <math>\operatorname{vol}_{d^{\times}x}(\mathbb{Z}_p^{\times})=1</math>을 만족한다
-* 실수부가 0보다 큰 복소수 $s$에 대하여, 다음이 성립한다
+* 실수부가 0보다 큰 복소수 <math>s</math>에 대하여, 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \int_{\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}}|x|_p^s\,d^{\times}x=\sum_{k=0}^{\infty}p^{-ks}\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}d^{\times}x=\frac{1}{1-p^{-s}} \label{eul}
-$$
+</math>
-* \ref{eul}의 첫번째 등식에서는 $\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}=\cup_{k\geq 0} (p^k\mathbb{Z}_p^{\times})$을 이용하였다.
+* \ref{eul}의 첫번째 등식에서는 <math>\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}=\cup_{k\geq 0} (p^k\mathbb{Z}_p^{\times})</math>을 이용하였다.
 * \ref{eul}는 리만제타함수의 소수 p에 해당하는 오일러 인수(Euler factor)가 된다
@@ 135번째 줄: / 135번째 줄: @@
 * [http://www.jstor.org/stable/2323809 Visualizing the p-adic Integers]
 ** Albert A. Cuoco, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 98, No. 4 (Apr., 1991), pp. 355-364
-* [http://www.jstor.org/stable/2323168 P-Adic Binomial Coefficients $\mod P$]
+* [http://www.jstor.org/stable/2323168 P-Adic Binomial Coefficients <math>\mod P</math>]
 ** Roger C. Alperin, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 8 (Oct., 1985), pp. 576-578
 * [http://www.jstor.org/stable/2321987 The p-Adic Approach to Solutions of Equations Over Finite Fields]
@@ 146번째 줄: / 146번째 줄: @@
 ==관련논문==
-* Errthum, Eric. “A Division Algorithm Approach to $p$-Adic Sylvester Expansions.” arXiv:1508.01503 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01503.
+* Errthum, Eric. “A Division Algorithm Approach to <math>p</math>-Adic Sylvester Expansions.” arXiv:1508.01503 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01503.

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143번째 줄:		143번째 줄:
	* [http://www.jstor.org/stable/2303739 The p-Adic Numbers of Hensel]		* [http://www.jstor.org/stable/2303739 The p-Adic Numbers of Hensel]
	** C. C. MacDuffee, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 8 (Oct., 1938), pp. 500-508		** C. C. MacDuffee, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 8 (Oct., 1938), pp. 500-508
		+
		+
		+	==관련논문==
		+	* Errthum, Eric. “A Division Algorithm Approach to $p$-Adic Sylvester Expansions.” arXiv:1508.01503 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01503.

@@ 82번째 줄: / 82번째 줄: @@
 * \ref{eul}의 첫번째 등식에서는 $\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}=\cup_{k\geq 0} (p^k\mathbb{Z}_p^{\times})$을 이용하였다.
 * \ref{eul}는 리만제타함수의 소수 p에 해당하는 오일러 인수(Euler factor)가 된다
 ==역사==
 *  1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
 *  1913년 헨젤 zahlentheorie
 *  1920년 Hasse principle
 ==관련된 항목들==

@@ 101번째 줄: / 101번째 줄: @@
 * [[유한체에서 정수계수 다항식의 분해]]
 ==사전 형태의 자료==
-* [http://ko.wikipedia.org/wiki/P%EC%A7%84%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/P진수]
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/P진수]
 * http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number
 * http://en.wikipedia.org/wiki/p-adic_analysis
-* [http://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_%28algebra%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra)]
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra)
-* [http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value_%28algebra%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value_(algebra)]
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value_(algebra)
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrametric
-* [http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel%27s_lemma http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma]
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Witt_vector
@@ 131번째 줄: / 134번째 줄: @@
 * [http://www.jstor.org/stable/2323809 Visualizing the p-adic Integers]
 ** Albert A. Cuoco, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 98, No. 4 (Apr., 1991), pp. 355-364
-* [http://www.jstor.org/stable/2323168 P-Adic Binomial Coefficients $\operatorname{MOD} P$]
+* [http://www.jstor.org/stable/2323168 P-Adic Binomial Coefficients $\mod P$]
-** Roger C. AlperinThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 8 (Oct., 1985), pp. 576-578
+** Roger C. Alperin, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 8 (Oct., 1985), pp. 576-578
 * [http://www.jstor.org/stable/2321987 The p-Adic Approach to Solutions of Equations Over Finite Fields]
-** Neal KoblitzThe American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (Feb., 1980), pp. 115-118
+** Neal Koblitz, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (Feb., 1980), pp. 115-118
 * [http://www.jstor.org/stable/2689885 An Elementary Example of a Transcendental p-adic Number]
 ** Glen H. Suter, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 1 (Jan., 1976), p. 42
 * [http://www.jstor.org/stable/2303739 The p-Adic Numbers of Hensel]
 ** C. C. MacDuffee, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 8 (Oct., 1938), pp. 500-508

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−		+	==하 측도 (Haar measure)==
		+	* $(\mathbb{Q}_p,+)$는 국소컴팩트 군이며 하 측도를 가진다
		+	* 하 측도 $\mu=dx$가 $\mu(\mathbb{Z}_p)=1$이 되도록 선택할 수 있다
		+	* 임의의 측도가능집합 $A$와 $a\in \mathbb{Q}_p$에 대하여 $\mu(x A)=\|x\|_p \mu(A)$가 성립한다
		+	* 측도 $\frac{dx}{\|x\|_p}$는 $(\mathbb{Q}_p^{\times},\times)$에 정의되는 하 측도이다
		+	* 다음이 성립한다
		+	$$
		+	\operatorname{vol}_{\frac{dx}{\|x\|_p}}(\mathbb{Z}_p^{\times})=\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}\frac{dx}{\|x\|_p}=\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}\,dx=\operatorname{vol}_{dx}(\mathbb{Z}_p^{\times})
		+	$$
		+	여기에 $\mathbb{Z}_p^{\times}=\cup_{a\neq 0 \mod p} (a+p\mathbb{Z}_p)$을 이용하면,
		+	$$
		+	\operatorname{vol}_{dx}(\mathbb{Z}_p^{\times})=(p-1)\operatorname{vol}_{dx}(p\mathbb{Z}_p)=\frac{p-1}{p}
		+	$$
		+	* 따라서 측도 $d^{\times}x:=\frac{p}{p-1}\frac{dx}{\|x\|_p}$는 $\operatorname{vol}_{d^{\times}x}(\mathbb{Z}_p^{\times})=1$을 만족한다
		+	* 실수부가 0보다 큰 복소수 $s$에 대하여, 다음이 성립한다
		+	$$
		+	\int_{\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}}\|x\|_p^s\,d^{\times}x=\sum_{k=0}^{\infty}p^{-ks}\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}d^{\times}x=\frac{1}{1-p^{-s}} \label{eul}
		+	$$
		+	* \ref{eul}의 첫번째 등식에서는 $\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}=\cup_{k\geq 0} (p^k\mathbb{Z}_p^{\times})$을 이용하였다.
		+	* \ref{eul}는 리만제타함수의 소수 p에 해당하는 오일러 인수(Euler factor)가 된다
		+

	==역사==		==역사==

@@ 102번째 줄: / 102번째 줄: @@
-==관련논문==
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
 * [http://www.jstor.org/stable/2302393 The Solution of p-Adic Equations]
 ** H. S. Thurston, The American Mathematical Monthly, Vol. 50, No. 3 (Mar., 1943), pp. 142-148