바이어슈트라스 타원함수 ℘

정의

• 2차원격자를 이루는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 대하여, 
  \(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)
  \(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)
  

 

• 는 타원함수가 됨.
  

 

 

\(\wp\)의 로랑급수

• 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.
  \(\wp(z)=z^{-2}+\frac{1}{20}g_2z^2+\frac{1}{28}g_3z^4+O(z^6)\)
  여기서 \(g_2= 60\sum{}' \Omega_{m,n}^{-4},\qquad g_3=140\sum{}' \Omega_{m,n}^{-6}\)
  

 

(증명)

\(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2) \) 를 정의하자.

\(\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2} \right\}\) 이므로 \(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)\) 의 로랑급수를 구한 뒤, 미분을 하면 된다.

\(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\)

\(=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}\). 여기서 \(G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{\omega^{2n}}\).

따라서 \(\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2} \right\}\)