바이어슈트라스 타원함수 ℘

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• 바이어슈트라스의 타원함수

 

 

 

 

 

정의

• 2차원격자를 이루는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 대하여, 
  \(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)
  \(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)
  

는 타원함수가 됨.

 

 

\(\wp\)의 로랑급수

• 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.
  \(\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)\)
  여기서 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\)
  

 

(증명)

\(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2) \) 를 정의하자.

\(\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2} \right\}\) 이므로 \(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)\) 의 로랑급수를 구한 뒤, 미분을 하면 된다.

\(\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\)

\(=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}\). 여기서 \(G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{\omega^{2n}}\).

따라서 \(\wp(z)=\frac{1}{z^2}-\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}\).

 

• \(G_{2n}\)에 대해서는 모듈라 형식(modular forms)의 아이젠슈타인 급수 참조.
  

 

 

미분방정식

• 바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴
  \(\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\)
  

 

 

도함수의 해

• \(\wp(z)\)는 우함수, \(\wp'(z)\)는 기함수임을 이용하면, \(\wp'(\frac{\omega}{2})=0\) 임을 증명할 수 있다
  
• \(e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\)
  \(e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\)
  \(e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\)
  
• 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음
  \(y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\)
  

 

 

덧셈공식

\(\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2\)

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

 

재미있는 사실

 

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• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
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수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

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• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

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