"베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리"의 두 판 사이의 차이
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* 켤레 베일리 쌍 <math>\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}</math><br><math>\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}</math><br> | * 켤레 베일리 쌍 <math>\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}</math><br><math>\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}</math><br> | ||
* 베일리 쌍을 얻기 위해 [[합공식의 q-analogue]] 들의 특별한 경우들을 많이 이용함<br> | * 베일리 쌍을 얻기 위해 [[합공식의 q-analogue]] 들의 특별한 경우들을 많이 이용함<br> | ||
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+ | * 다음과 같은 표현도 쓰인다<br><math>\gamma_n=\prod{{x/y,x/z;q}\choose {x,x/yz;}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br> | ||
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2011년 11월 12일 (토) 06:43 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
베일리 쌍(Bailey pair)
- 다음을 만족시키는 두 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\) - 켤레 베일리 쌍 \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\)
\(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}\) - 베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함
베일리 쌍의 예
\(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\)
\(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)
왜 베일리 쌍을 공부하나?
- 베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
- 베일리 보조정리를 이용하는 경우
- 베일리 쌍의 정의로부터
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)
- 베일리 보조정리를 이용하는 경우
베일리 보조 정리
- 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
- 네 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\), \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\) 이
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}\), \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\)
이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다
\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\) - 다음과 같이 u,v 를 선택한다
\(u_{n}=\frac{1}{(q)_n}\) ,\(v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\), 여기서 \(x=aq\)
베일리 쌍의 예
- 다음과 같은 켤레 베일리 쌍 (relative to a)을 찾을 수 있다
\(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\)
\(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\) - 다음과 같은 표현도 쓰인다
\(\gamma_n=\prod{{x/y,x/z;q}\choose {x,x/yz;}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
(증명)
q-가우스 합 을 이용하자.
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\)
Also note that \((a)_{n+r}=(a)_{r}(aq^{r})_{n}\) and \((a)_{\infty}=(a)_{r}(aq^{r})_{\infty}\)
\(a=yq^{r},b=zq^{r},c=xq^{2r}\)라 두자.
다음 등식을 얻는다. (*)
\(A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(xq^{r}/y)_{\infty}(xq^{r}/z)_{\infty}}{(xq^{2r})_{\infty}(x/(yz))_{\infty}}=B\)
좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}}{(y)_{r}(z)_{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n+r}\)
\(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\)로 두면,
\(A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}\) 로 쓸 수 있다.
(*)의 우변으로부터 다음을 얻는다.
\(B=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\)
그러므로,
\(A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}=B\)
여기서 다음을 얻는다.
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{1}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\frac{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}{y^{r}z^{r}}\)
그러므로
\(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\) 와 \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\) 는 켤레 베일리 쌍이다. ■
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
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- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey_pair
- http://en.wikipedia.org/wiki/Wilfrid_Norman_Bailey
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- 50 Years of Bailey's lemma S. Ole Warnaar, 2009
관련논문