"베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">베일리 쌍의 예</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">베일리 쌍의 예</h5>
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<math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})</math>
 
<math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})</math>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">켤레 베일리 쌍의 예</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">베일리 쌍의 예</h5>
 
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*  다음과 같은 켤레 베일리 쌍 (relative to <em>a</em>)을 찾을 수 있다<br><math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math><br>  <math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br>
 
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*  다음과 같은 표현도 쓰인다<br><math>\gamma_n=\prod{{x/y,x/z;q}\choose {x,x/yz;}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br>
 
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(증명)
 
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[[q-가우스 합]] 을 이용하자.
 
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<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}</math>
 
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Also note that <math>(a)_{n+r}=(a)_{r}(aq^{r})_{n}</math> and <math>(a)_{\infty}=(a)_{r}(aq^{r})_{\infty}</math>
 
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<math>a=yq^{r},b=zq^{r},c=xq^{2r}</math>라 두자.
 
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다음 등식을 얻는다. (*)
 
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<math>A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(xq^{r}/y)_{\infty}(xq^{r}/z)_{\infty}}{(xq^{2r})_{\infty}(x/(yz))_{\infty}}=B</math>
 
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좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.
 
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<math>A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}}{(y)_{r}(z)_{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n+r}</math>
 
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<math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>로 두면,
 
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<math>A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}</math> 로 쓸 수 있다.
 
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(*)의 우변으로부터 다음을 얻는다.
 
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<math>B=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}</math>
 
  
 
 
 
 
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그러므로,
 
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<math>A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}=B</math>
 
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여기서 다음을 얻는다.
 
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<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{1}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\frac{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}{y^{r}z^{r}}</math>
 
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그러므로
 
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<math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math>  와  <math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math> 는 켤레 베일리 쌍이다. ■
 
  
 
 
 
 

2011년 11월 12일 (토) 06:52 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

베일리 쌍(Bailey pair)
  • 다음을 만족시키는 두 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다
    \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)
  • 켤레 베일리 쌍  \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\)
    \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}\)
  • 베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함

 

 

베일리 쌍의 예

\(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\)

\(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)

 

 

 

왜 베일리 쌍을 공부하나?
  • 베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
    • 베일리 보조정리를 이용하는 경우
    • 베일리 쌍의 정의로부터
      \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)

 

 

베일리 보조 정리
  • 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
  • 네 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\), \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\) 이
    \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}\),  \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\)
    이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
  • 다음과 같이 u,v 를 선택한다
    \(u_{n}=\frac{1}{(q)_n}\) ,\(v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\), 여기서 \(x=aq\)

 

 

켤레 베일리 쌍의 예

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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