"베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리"의 두 판 사이의 차이
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* 다음을 만족시키는 두 수열<math>\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}</math>을 <em>a</em>에 대한 베일리 쌍이라 부른다<br><math>\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}</math><br> | * 다음을 만족시키는 두 수열<math>\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}</math>을 <em>a</em>에 대한 베일리 쌍이라 부른다<br><math>\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}</math><br> | ||
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* 베일리 쌍을 이용하여 [[로저스-라마누잔 항등식]] 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음<br> | * 베일리 쌍을 이용하여 [[로저스-라마누잔 항등식]] 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음<br> | ||
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* 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)<br><math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})</math><br><math>\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}</math><br><math>\delta_n=q^{n^2}</math><br><math>\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}</math><br> | * 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)<br><math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})</math><br><math>\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}</math><br><math>\delta_n=q^{n^2}</math><br><math>\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}</math><br> | ||
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* 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다<br> | * 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다<br> | ||
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* [http://arxiv.org/abs/0910.2062v2 50 Years of Bailey's lemma] S. Ole Warnaar, 2009 | * [http://arxiv.org/abs/0910.2062v2 50 Years of Bailey's lemma] S. Ole Warnaar, 2009 | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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2012년 11월 1일 (목) 13:50 판
이 항목의 수학노트 원문주소==
개요
- q-series 항등식을 증명하는 중요한 테크닉
베일리 쌍(Bailey pair)==
- 다음을 만족시키는 두 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)
- 켤레 베일리 쌍 \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\)
\(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}\)
- 베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함
왜 베일리 쌍을 공부하나?==
- 베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
- 베일리 보조정리를 이용하는 경우
- 베일리 쌍의 정의로부터
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)
베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍의 예==
- 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)
\(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\)
\(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)
\(\delta_n=q^{n^2}\)
\(\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\)
- 아래의 베일리 보조 정리를 이용하여, 로저스-라마누잔 항등식 을 증명할 수 있다
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{3};q^{5})_{\infty}(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}}\)
베일리 보조 정리==
- 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
- 네 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\), \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\) 이
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}\), \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\)
이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다
\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
- 다음과 같이 u,v 를 선택한다
\(u_{n}=\frac{1}{(q)_n}\) ,\(v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\), 여기서 \(x=aq\)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역==
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey_pair
- http://en.wikipedia.org/wiki/Wilfrid_Norman_Bailey
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- 50 Years of Bailey's lemma S. Ole Warnaar, 2009
관련논문
관련도서
- 다음을 만족시키는 두 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\) - 켤레 베일리 쌍 \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\)
\(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}\) - 베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함
왜 베일리 쌍을 공부하나?==
- 베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
- 베일리 보조정리를 이용하는 경우
- 베일리 쌍의 정의로부터
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)
- 베일리 보조정리를 이용하는 경우
- 베일리 쌍의 정의로부터
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)
베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍의 예==
- 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)
\(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\)
\(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)
\(\delta_n=q^{n^2}\)
\(\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\)
- 아래의 베일리 보조 정리를 이용하여, 로저스-라마누잔 항등식 을 증명할 수 있다
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{3};q^{5})_{\infty}(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}}\)
\(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\)
\(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)
\(\delta_n=q^{n^2}\)
\(\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\)
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{3};q^{5})_{\infty}(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}}\)
베일리 보조 정리==
- 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
- 네 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\), \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\) 이
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}\), \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\)
이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다
\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
- 다음과 같이 u,v 를 선택한다
\(u_{n}=\frac{1}{(q)_n}\) ,\(v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\), 여기서 \(x=aq\)
\(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}\), \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\)
이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다
\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
\(u_{n}=\frac{1}{(q)_n}\) ,\(v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\), 여기서 \(x=aq\)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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