"블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

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* [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm]]<br><math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math> for <math>z\in \mathbb C-[1,\infty)</math><br>
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* [[다이로그 함수(dilogarithm)]]<br><math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math> for <math>z\in \mathbb C-[1,\infty)</math><br>
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*  Bloch-Wigner dilogarithm<br><math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)</math><br>
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*  다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함<br><math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)</math><br>
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]] 항목 참조<br>
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*  <br> real analytic on <math>\mathbb{C}</math> except at the two point 0 and 1<br>
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*  real analytic on <math>\mathbb{C}</math> except at the two point 0 and 1. <br>
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* 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]] 항목 참조
  
 
 
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
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*  Spencer Bloch, Higher Regulators, Algebraic K-Theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves http://books.google.com/books/about/Higher_Regulators_Algebraic_K_Theory_and.html?id=D7BDMNbxM1IC<br>
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*  Serge Lang, Complex Analysis, Chapter XI. Section 2<br>

2012년 4월 20일 (금) 15:43 판

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개요
  • 다이로그 함수(dilogarithm)
    \(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)
  • 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함
    \(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)\)
  •  
    real analytic on \(\mathbb{C}\) except at the two point 0 and 1
  • 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조

 

 

그래프와 등고선
  • 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
    [1]
  • 다음과 같은 등고선을 얻는다
    [2]

 

 

 

항등식

\(D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\)

  • Dilogarithm 함수가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함
    \(\mbox{Li}_2(x)\),\(\mbox{Li}_2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\),  \(\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)

 

 

five-term relation

\(D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\)

\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\)

 

 

데데킨트 제타함수와의 관계
  • \(s=2\) 에서의 값
    복소이차수체의 데데킨트 제타함수
    \(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
    \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, Math-Annalen, pages 612–624, 1990. http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591
  • Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields

 

 

관련도서
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