사각 피라미드 퍼즐

간단한 소개

• 공을 다음 그림처럼 피라미드 모양으로 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 되는가?

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• 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어짐.
  \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  
• 답은 두 쌍이 존재.
  (n,m)=(1,1) or (24,70)
  
• Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
• 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
  \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)
  

 

 

풀이

자명하게 x, x+1, 2x+1 은 쌍쌍이 서로소.
이 때, x 가 mod 6 에 대해 어떤 경우라도 성립하지 않음을 보이자. (서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용)
x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 (3t-1)(6t-1)(4t-1) = y²

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

이 경우도 마찬가지로 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다.
이제 x ≡ 0, 1 (mod 6) 일 때 에만 보이면 되는데 0 일 때 만 보이면 1 일 때 에도 자명하게 되므로 0 일 때만 보이도록 하겠다. 식에 대입하면
t(6t+1)(12t+1) = y². 이 때 편의상 6t + 1 = p², 12t + 1 = q² 이다. 우리는 p 가 7 이상이면 아래의 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다. -> ([√2 * p])² < 2p² - 1 ( 단순히 생각해 보면 자명하게 맞음...) 또한, [X] > X - 1 임을 이용하면
([√2 p] + 1)² > 2p² -1 이다. 따라서, p 가 7 이상이 되면 두 연속한 제곱수 사이에 다른 제곱수가 존재하므로 모순.. 따라서 p 는 6 이하가 된다. 이 때 대입해 보면 p 가 2 일 때, 해 (x,y) = (24, 70) 이 나오게 된다.
마찬가지로 x ≡ 3 (mod 6) 일 때 에도 해보면 (6t+1)(3t+1)(4t+1) = y² 이 나오는데 3t + 1 을 p², 6t+1 = q² 이라 하면 q² = 2p² - 1 이 되는 아까와 동일한 상황이 되어 해보면 (1,1) 이 나온다. 따라서, 답은 (1,1) 과 (24, 70)

 

 

정수계수 타원곡선으로의 변형

\(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 

를 사용하면,

\(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.

\(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 주게 되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 찾으면 된다(?)

• congruent number 문제(참고로 6은 congruent number)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 04 부분합과 급수
• 초등정수론

 

 

 

관련된 항목들

• 타원곡선
• Number 12 and 24
• congruent number 문제

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

관련논문

• Lucas' Square Pyramid Problem Revisited
  
  • Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002
• The Square Pyramid Puzzle
  
  • W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
•  

 

블로그

• 사각 피라미드 퍼즐(1)
  
  • Secret Math Blog, 2009-1
• The Square Pyramid Puzzle
  
  • Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8