"사각 피라미드 퍼즐"의 두 판 사이의 차이

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*  공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?<br>[/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]<br>
 
*  공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?<br>[/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]<br>
 
* 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
 
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** [[타원곡선]]의 정수해 문제로 이해할 수 있음.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math><br>
 
  
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* Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
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* [[타원곡선]]의 정수해 문제로 이해할 수 있음.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math><br>
  
 
 
 
 
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* 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다<br><math>1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2</math><br>
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* 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]이 사용되었다
 
*  답은 두 쌍이 존재<br><math>(n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)</math><br>
 
*  답은 두 쌍이 존재<br><math>(n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)</math><br>
  
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* 24차원의 리치 격자는, 26차원 even unimodular 격자 <math>II_{25,1}</math>의 길이 0인 벡터 <math>(0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)</math>을 사용하여 구성할 수 있다
  
 
 
 
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
 
* http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html
 
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=

2010년 1월 14일 (목) 15:25 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?
    [/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]
  • 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
  • Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
  • 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

 

 

티오판투스 방정식
  • 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다
  • \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  • 거듭제곱의 합을 구하는 공식이 사용되었다
  • 답은 두 쌍이 존재
    \((n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)\)

 

 

정수계수 타원곡선으로의 변형
  • \(y^2=x^3-36x\) 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 에서 \(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 로 치환하면, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 에서도 정수해에 대응되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 모두 찾으면 된다.
    \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 모든 정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [DP2009]
    이 중에서 \(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\)
  • 위에서 찾은 정수해는 타원곡선\(y^2=x^3-36x\)의 rank가 1이상임을 증명한다
  • 이는 또한 6이 congruent number 임을 증명한다

 

 

부분적인 풀이

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.
x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.

x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.

 

 

메모
  • 24차원의 리치 격자는, 26차원 even unimodular 격자 \(II_{25,1}\)의 길이 0인 벡터 \((0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)\)을 사용하여 구성할 수 있다

 

 

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