"사각 피라미드 퍼즐"의 두 판 사이의 차이

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*  공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?<br>[/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]<br>
 
*  공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?<br>[/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]<br>
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==티오판투스 방정식</h5>
  
 
* 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다
 
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* <math>y^2=x^3-36x</math> 의 정수해를 찾는 문제로의 변형<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math> 에서 <math>x=\frac{x_1-6}{12}</math>, <math>y=\frac{y_1}{72}</math> 로 치환하면, <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math> 를 얻는다.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math> 의 정수해는 <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math> 에서도 정수해에 대응되므로, <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 정수해를 모두 찾으면 된다.<br><math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 모든 정수해는 <math>(x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다. '''[DP2009]'''<br> 이 중에서 <math>y_1</math>이 72의 배수가 되는 경우는 <math>(18,\pm72), (294,\pm5040)</math><br>
 
* <math>y^2=x^3-36x</math> 의 정수해를 찾는 문제로의 변형<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math> 에서 <math>x=\frac{x_1-6}{12}</math>, <math>y=\frac{y_1}{72}</math> 로 치환하면, <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math> 를 얻는다.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math> 의 정수해는 <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math> 에서도 정수해에 대응되므로, <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 정수해를 모두 찾으면 된다.<br><math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 모든 정수해는 <math>(x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다. '''[DP2009]'''<br> 이 중에서 <math>y_1</math>이 72의 배수가 되는 경우는 <math>(18,\pm72), (294,\pm5040)</math><br>
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서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.<br> x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 <math>x=6t-2</math>로 두면, <math>(3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2</math>
 
서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.<br> x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 <math>x=6t-2</math>로 두면, <math>(3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2</math>
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* 24차원의 [[리치 격자(Leech lattice)|리치 격자]]는, 26차원 even unimodular 격자 <math>II_{25,1}</math>의 길이 0인 벡터 <math>(0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)</math>을 사용하여 구성할 수 있다
 
* 24차원의 [[리치 격자(Leech lattice)|리치 격자]]는, 26차원 even unimodular 격자 <math>II_{25,1}</math>의 길이 0인 벡터 <math>(0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)</math>을 사용하여 구성할 수 있다
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* [[타원곡선]]
 
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료</h5>
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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<h5>관련논문</h5>
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==관련논문</h5>
  
 
* '''[DP2009]'''[http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2008.07.002 Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)]<br>
 
* '''[DP2009]'''[http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2008.07.002 Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)]<br>
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<h5>블로그</h5>
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==블로그</h5>
  
 
* [http://smbseminar.wordpress.com/2009/01/11/%EC%82%AC%EA%B0%81-%ED%94%BC%EB%9D%BC%EB%AF%B8%EB%93%9C-%ED%8D%BC%EC%A6%901/ 사각 피라미드 퍼즐(1)] Secret Math Blog, 2009-1
 
* [http://smbseminar.wordpress.com/2009/01/11/%EC%82%AC%EA%B0%81-%ED%94%BC%EB%9D%BC%EB%AF%B8%EB%93%9C-%ED%8D%BC%EC%A6%901/ 사각 피라미드 퍼즐(1)] Secret Math Blog, 2009-1
 
* [http://wiessen.tistory.com/269 The Square Pyramid Puzzle]<br>
 
* [http://wiessen.tistory.com/269 The Square Pyramid Puzzle]<br>
 
** Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8
 
** Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8

2012년 10월 31일 (수) 19:21 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

==개요

  • 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?
    [/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]
  • 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
  • Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
  • 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

 

 

==티오판투스 방정식

  • 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다
  • \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  • 거듭제곱의 합을 구하는 공식이 사용되었다
  • 답은 두 쌍이 존재
    \((n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)\)

 

 

==다른 정수계수 타원곡선으로의 변형

  • \(y^2=x^3-36x\) 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 에서 \(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 로 치환하면, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.
    \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 에서도 정수해에 대응되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 모두 찾으면 된다.
    \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 모든 정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (−3,\pm9), (−2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [DP2009]
    이 중에서 \(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\)
  • 위에서 찾은 정수해는 타원곡선\(y^2=x^3-36x\)의 rank가 1이상임을 증명한다
  • 이는 또한 6이 congruent number 임을 증명한다

 

 

==부분적인 풀이

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.
x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 \(x=6t-2\)로 두면, \((3t-1)(6t-1)(4t-1) = y^2\)

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

세번째 인수들은 완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 이 되므로 모순이다.

x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

3t+1=p^2, 12t+5=q^2 으로 두면, q^2-4p^2=1이고 p=0 이어야 하므로, 모순이다.

 

 

==메모

  • 24차원의 리치 격자는, 26차원 even unimodular 격자 \(II_{25,1}\)의 길이 0인 벡터 \((0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)\)을 사용하여 구성할 수 있다

 

 

==관련된 고교수학

 

==관련된 항목들

 

 

==사전 형태의 자료

 

==관련논문

 

 

==블로그

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