"세르 관계식 (Serre relations)"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 19일 (목) 13:14 판

l : 리대수의 rank
\((a_{ij})\) : 카르탄 행렬
생성원 \(e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)\)
세르 관계식
- \(\left[h_i,h_j\right]=0\)
- \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
- \(\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j\)
- \(\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j\)
- \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
- \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
ad 는 adjoint 의 약자
- \(\left(\text{ad} x\right){}^{3}\left(y\right)=[x, [x, [x, y]]]\)
- \(\left(\text{ad} x\right){}^{4}\left(y\right)=[x, [x, [x, [x, y]]]]\)

카르탄 행렬
\(\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)\)
\(i\neq j\) 일 때
\(\left(\text{ad} x_i\right){}^{2}\left(x_j\right)=[x_i, [x_i,x_j]]=0\)
\(\left(\text{ad} x_i\right){}^{2}\left(x_j\right)=[x_i, [x_i,x_j]]=0\)

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	* 카르탄 행렬<br><math>\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)</math><br>		* 카르탄 행렬<br><math>\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)</math><br>
−	* <math>i\neq j</math> 일 때 <math>\left(\text{ad} x_i\right){}^{2}\left(x_j\right)=[x_i, [x_i,x_j]]</math><br>	+	* <math>i\neq j</math> 일 때<br><math>\left(\text{ad} x_i\right){}^{2}\left(x_j\right)=[x_i, [x_i,x_j]]=0</math><br><math>\left(\text{ad} x_i\right){}^{2}\left(x_j\right)=[x_i, [x_i,x_j]]=0</math><br>