"순환 체확장(cyclic extension)"의 두 판 사이의 차이

2009년 10월 26일 (월) 13:49 판

(정리)

\(F\)가 primitive n-th root of unity 를 포함한다 하자.

\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.

(증명)

힐버트 정리 90... 또는

\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

\(K\)에 정의된 (\(F\)-)선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성에 의하여, 0이 아니다.

따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다.

\(a=\tau(b)\)로 두면, \(\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\)

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 <math>\text{Gal}(K/F)</math> 가 <math>\sigma</math>에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.
-선형사상
+<math>K</math>에 정의된 (<math>F</math>-)선형사상 <math>\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i</math>는 <math>\{\sigma^i\}</math>의 선형독립성에 의하여,  0이 아니다.
+따라서 <math>\tau(b)\in K\neq 0 </math> 인 <math>b\in K</math>가 존재한다.
+<math>a=\tau(b)</math>로 두면, <math>\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=</math>