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* 체<math>F</math>와 그 갈루아체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름<br> | * 체<math>F</math>와 그 갈루아체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름<br> | ||
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| − | <math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>}\zeta_n</math>를 포함한다 하자.( | + | <math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>}\zeta_n</math>를 포함한다 하자.(가령 <math>F</math>가 복소수체를 포함하는 경우) |
<math>K</math>가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 <math>a\in F</math> 가 존재하여, <math>K= F(a)</math>와 <math>a^n\in F</math> 를 만족시킨다. | <math>K</math>가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 <math>a\in F</math> 가 존재하여, <math>K= F(a)</math>와 <math>a^n\in F</math> 를 만족시킨다. | ||
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<math>a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)</math>로 두면, | <math>a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)</math>로 두면, | ||
| − | <math>\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sigma(a)</math> | + | <math>\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math> |
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| + | 따라서 <math>[F(a):F]\geq n</math> 임을 알 수 있고, <math>[K:F]=n</math>으로부터 <math>K= F(a)</math>를 얻는다. | ||
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| + | 한편 <math>\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a</math> 이므로, <math>\sigma(a^n)=}a^n</math>이 된다. 따라서 <math>a^n\in F</math>. ■ | ||
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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| + | * [[가해군(solvable group)]]<br> | ||
| + | * [[순환군]]<br> | ||
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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2010년 2월 18일 (목) 15:48 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
간단한 소개
- 체\(F\)와 그 갈루아체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름
(정리)
\(F\)가 primitive n-th root of unity \(}\zeta_n\)를 포함한다 하자.(가령 \(F\)가 복소수체를 포함하는 경우)
\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.
(증명)
힐버트 정리 90... 또는
\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.
\(K\)에 정의된 (\(F\)-)선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성에 의하여, 0이 아니다.
따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다.
\(a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\)로 두면,
\(\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a\)
따라서 \([F(a):F]\geq n\) 임을 알 수 있고, \([K:F]=n\)으로부터 \(K= F(a)\)를 얻는다.
한편 \(\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a\) 이므로, \(\sigma(a^n)=}a^n\)이 된다. 따라서 \(a^n\in F\). ■
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
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