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<h5>숫자 12</h5> | <h5>숫자 12</h5> | ||
| − | * 12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight<br><math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots</math><br> 는 weight 12 cusp form<br> | + | * [[모든 자연수의 합과 리만제타함수]]<br><math>\zeta(-1)= -\frac{1}{12}</math><br><math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}</math><br> |
| + | * 12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight<br><math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots</math><br> 는 weight 12 cusp form<br>[[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)]]<br> | ||
* <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}</math> | * <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}</math> | ||
* <math>\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}</math> | * <math>\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}</math> | ||
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]<br><math>E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}</math><br> | * [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]<br><math>E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}</math><br> | ||
| − | * Leech 격자의 차원 | + | * 리치(Leech)격자의 차원 |
| − | * | + | * 돌발성 단순군 M24 |
* If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24. | * If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24. | ||
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br> | * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br> | ||
| − | * [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]<br><math>z=q</math>,<math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math><br><math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math><br><math>\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})</math> | + | * [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]<br><math>z=q</math>,<math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math><br><math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math><br><math>\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})</math><br> |
* 26=24+2 는 보존 끈이론의 차원 http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595#post2910595 | * 26=24+2 는 보존 끈이론의 차원 http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595#post2910595 | ||
2010년 12월 25일 (토) 06:25 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 수학에서 숫자 12와 24는 매우 흥미로운 수.
- 모듈라 군(modular group)과 깊게 관련되어 있음.
숫자 12
- 모든 자연수의 합과 리만제타함수
\(\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\) - 12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight
\(\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\)
는 weight 12 cusp form
판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function) - \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
- \(\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}\)
숫자 24
- 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
\(E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\) - 리치(Leech)격자의 차원
- 돌발성 단순군 M24
- If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
- 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
\(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\) - 분할수의 생성함수(오일러 함수)
\(z=q\),\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)
\(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)
\(\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\)
- 26=24+2 는 보존 끈이론의 차원 http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595#post2910595
- 스털링 공식
\( n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\)
메모
관련된 항목들
- 사각 피라미드 퍼즐
- 모든 자연수의 합과 리만제타함수
- 정수계수 2x2 행렬군의 분류
- Leech lattice
- Bosonic string theory
- Lattice polygons
- 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
- 라마누잔의 수학
- j-invariant
위키링크
관련논문
- Lattice Polygons and the Number 12
- Bjorn Poonen and Fernando Rodriguez-Villegas, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 3 (Mar., 2000), pp. 238-250
- My Favorite Numbers : 5, 8, and 24
- John Baez, The Rankin Lectures, University of Glasgow, September 15-19, 2008
- A short proof of the twelve-point theorem
- Repovscaron D.; Skopenkov M.; Cencelj M., Mathematical Notes, Volume 77, Number 1, January 2005 , pp. 108-111(4)
- The Square Pyramid Puzzle
- W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
- This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 125)
- John Baez, November 3, 1998
- Picard Groups of Moduli Problems
- David Mumford, Arithmetical Algebraic Geometry, Proceedings of a Conference Held at Purdue University
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=24
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=12
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