숫자 12와 24

개요

• 수학에서 숫자 12와 24는 매우 흥미로운 수.
• 모듈라 군(modular group)과 깊게 관련되어 있음.

숫자 12

• 모든 자연수의 합과 리만제타함수
  \(\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\)
  \(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\)
  
• 12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight
  \(\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\)
  는 weight 12 cusp form
  판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
  
• \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
• 오비폴드 오일러 표수
  \(\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}\)
  
• 라마누잔과 1729
  \(1729=12^3+1^3=10^3+9^3\)
  

• 스털링 공식
  \( n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\)
  

숫자 24

• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
  \(E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\)
  
• 리치(Leech)격자의 차원
• 돌발성 단순군 M24
• If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
• [[\[Zeta](2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
  \(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)
  
• 분할수의 생성함수(오일러 함수)
  \(z=q\),\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)
  \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)
  \(\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\)
  
• 26=24+2는 보존 끈이론의 차원
  
  • 24는 transverse dimensions
  • http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595# post2910595

메모

• http://mathoverflow.net/questions/44866/third-stable-homotopy-group-of-spheres-via-geometry

관련된 항목들

• 사각 피라미드 퍼즐
• 모든 자연수의 합과 리만제타함수
• 정수계수 2x2 행렬군의 분류
• Leech lattice
• Bosonic string theory
• Lattice polygons
• 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
• 라마누잔의 수학
• j-invariant
• 엘러건트 유니버스

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group

관련논문

• Lattice Polygons and the Number 12
  
  • Bjorn Poonen and Fernando Rodriguez-Villegas, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 3 (Mar., 2000), pp. 238-250
• My Favorite Numbers : 5, 8, and 24
  
  • John Baez, The Rankin Lectures, University of Glasgow, September 15-19, 2008
• A short proof of the twelve-point theorem
  
  • Repovscaron D.; Skopenkov M.; Cencelj M., Mathematical Notes, Volume 77, Number 1, January 2005 , pp. 108-111(4)
• The Square Pyramid Puzzle
  
  • W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 125)
  
  • John Baez, November 3, 1998
• Picard Groups of Moduli Problems
  
  • David Mumford, Arithmetical Algebraic Geometry, Proceedings of a Conference Held at Purdue University

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=24
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=12